Differenziabilità per funzioni
di due variabili

Funzione omogenea di grado 1, con derivate parziali nulle in (0,0): non è differenziabile. Osservare che le derivate direzionali lungo le rette y=+-x sono diverse da zero.

     -SurfaceGraphics-

     -ContourGraphics-

     -Graphics3D-

Funzione omogenea di grado 0, con derivate parziali nulle in (0,0): non è continua. Osservare che lungo gli assi la funzione è zero mentre lungo le rette y=+-x è +-0.5.
Osservare anche il grafico delle curve di livello: sono rette uscenti dall'origine. Quando linee di livello corrispondenti a quote diverse convergono in un punto, quello è un punto di discontinuità.

     -SurfaceGraphics-

     -ContourGraphics-

Esaminiamo il grafico della restrizione della funzione precedente lungo varie sezioni

Lungo rette y=mx la funzione è costante (costanti diverse), a riprova della discontinuità

     -Graphics-

Lungo curve y=x^a con a>1 la funzione è continua, ma si vede che per valori alti il grafico tende a "strapparsi"

     -Graphics-

Funzione uguale a parte lineare più parte omogenea di grado 2: è differenziabile, e la parte lineare è il suo piano tangente. Se si fa uno zoom nell'intorno dell'origine, il grafico appare quasi indistinguibile da quello di un piano.

     -SurfaceGraphics-

     -SurfaceGraphics-

A titolo di confronto, si osservi cosa accade se si fa uno zoom sul grafico di una funzione non differenziabile, come quella del primo esempio:

     -SurfaceGraphics-

Il grafico riproduce le stesse "asperità" che aveva su scala maggiore.