Integrale di Riemann generalizzato

Questo notebook vuole illustrare, graficamente e numericamente, il seguente esempio:

si mostra una funzione y=f(x), definita su tutto R, infinitesima all'infinito, con infinite oscillazioni di segno, tale che il suo integrale generalizzato converge; tuttavia, la funzione valore assoluto di f(x), ha integrale generalizzato divergente.

Intuitivamente, ciò significa che l'integrale generalizzato di f(x) converge grazie alle cancellazioni che si producono per il segno variabile di f(x), e NON, invece, grazie alla rapidità con cui f(x) tende a zero. Infatti, la funzione valore assoluto di f(x), che tende a zero con la stessa rapidità di f(x) ma non ha variazioni di segno, ha integrale generalizzato divergente.

Esempio: consideriamo la funzione

Definiamo la funzione integrale di F[x] e studiamone il comportamento all'infinito:

La funzione integrale tende a Pi/2
(valore dell'integrale generalizzato di F)

Consideriamo ora il valore assoluto di F:

Consideriamo la funzione integrale del valore assoluto di F,
e studiamone il comportamento all'infinito:

La funzione tende a infinito (lentamente), cioè l'integrale generalizzato del valore assoluto di F diverge.

Converted by Mathematica      September 4, 2000