Programma definitivo
dettagliato
del modulo di Metodi Analitici per le Equazioni alle
Derivate Parziali
Ing. Matematica (5 crediti - ord. L.270)
Politecnico di Milano
A.A. 2023/2024. Prof. M. Bramanti
Testo di riferimento: [S]: S.
Salsa, Equazioni a Derivate Parziali. Metodi, modelli e applicazioni,
Editore: Springer, Anno edizione: 2016.
Saranno fornite, mano a mano che il programma viene svolto, indicazioni
bibliografiche con riferimento al libro di testo o ad altro materiale.
Le dimostrazioni di teoremi svolte a lezione e in programma sono
indicate con (*). E' fornito anche, nella pagina web del corso, un elenco delle
domande-tipo di teoria richieste all'esame.
Introduzione
Generalità sulle equazioni alle derivate parziali e tipi di modelli
fisici che traducono. Classificazione delle EDP da vari punti di vista
ed esempi. Problemi al contorno e ai valori iniziali,
problemi ben posti.
Riferimenti: [S], §1.1, 1.2,
1.3. v. Slides della lezione introduttiva (scaricabili dalla pagina
webeep del corso)
Prerequisiti e richiami di analisi funzionale e complementi su spazi di Hilbert
Spazi
vettoriali (reali) normati, successioni di Cauchy e
completezza. Spazi di Banach. Esempi di spazi di funzioni continue o
integrabili. Spazi Lp, C0, C0*
Spazi vettoriali con prodotto scalare: assiomi di prodotto scalare, disuguaglianza di
Cauchy-Schwartz,
norma indotta dal prodotto scalare.
Spazi prehilbertiani, ortogonalità. Spazi di Hilbert. Continuità del
prodotto scalare e della norma. Esempi di spazi di Hilbert, spazi di
Banach che non sono di Hilbert. Teorema di Pitagora per un numero finito o una
successione di elementi a due a due ortogonali, in spazi di Hilbert.
Generalità su
operatori e funzionali lineari continui su spazi vettoriali normati:
definizione di operatore lineare continuo, sua norma, spazio L(X,Y),
funzionali lineari continui, spazio duale X*. Esempi di operatori
lineari continui: richiami su convoluzione, teorema di Young, operatori
di convoluzione; richiami sulla trasformata di Fourier come operatore
da L1 a C*, Esempi di funzionali lineari continui
su spazi di funzioni
continue o integrabili. Richiami sulla disuguaglianza di Holder,
funzionali lineari continui su Lp, teorema di Riesz sul
duale di Lp. Il caso particolare di L2.
Funzionali lineari continui su spazi di Hilbert: funzionale indotto dal
prodotto scalare con un elemento fissato e, viceversa, teorema di
rappresentazione di Riesz: identificazione del duale H* con H per spazi
di Hilbert.
Geometria negli spazi di Hilbert: Teorema
della proiezione su sottospazi di Hilbert di dimensione finita muniti
di una base ortonormale. Sistemi ortonormali completi, serie e trasformata di Fourier rispetto a
un s.o.n.c. Applicazione alle serie di Fourier in L2(0,T).
Riferimenti: [S], §6.2, 6.3,
6.4, 6.5.1, 6.5.2.
Equazione di Laplace-Poisson
Preliminari su domini e identità integrali. Definizione di
dominio di classe C1, dominio lipschitziano,
teorema della divergenza su un dominio limitato e lipschitziano di Rn.
Prima e seconda identità di Green (*).
Riferimenti: [S], §1.6, 1.7
Generalità sull'equazione di Laplace-Poisson.
Modelli fisici e motivazioni matematiche che portano
all'equazione di Laplace-Poisson in
dimensione 2 o 3: deduzione dell'equazione di Poisson per il potenziale
elettrostatico o gravitazionale; equazione di Laplace per il potenziale
di velocità di un fluido incomprimibile in moto non vorticoso;
equazione di Poisson come caso stazionario dell'equazione del calore,
per la temperatura di un sistema in equilibrio termico, e come
equazione della membrana elastica in equilibrio (caso stazionario
dell'equazione della membrana vibrante). Relazione tra funzioni
armoniche in due variabili e funzioni
olomorfe: la parte reale e la parte immaginaria di una funzione
olomorfa in un aperto del piano sono funzioni armoniche in
quell'aperto. Esempi: le funzioni armoniche fondamentali del piano,
parte reale
e immaginaria di zn.
Problemi al contorno tipici per
l'equazione di Laplace-Poisson: i problemi di Dirichlet, Neumann, Robin
e il problema misto; alcuni loro significati fisici.
Teorema di unicità, su domini limitati lipschitziani, per i problemi di
Dirichlet, di Robin e misto, e di unicità a meno di costante additiva
per il
problema di Neumann, nella classe di funzioni C2 all'interno
e C1 fino al bordo del dominio (*). Condizione di
compatibilità per il problema di Neumann (*).
Riferimenti: [S], §3.1, 3.2.
Problemi bidimensionali. Il problema di Dirichlet
sul cerchio: risoluzione per separazione di variabili, discussione
della soluzione trovata: la funzione assegnata dalla serie di funzioni
è regolare e armonica all'interno del cerchio se il dato al bordo è
integrabile sulla circonferenza (*), assume il dato al bordo con
continuità se il dato al bordo è continuo sulla circonferenza e
regolare a tratti (*), lo assume in senso L2 se il dato al
bordo è L2
(*). Problema di
Neumann sul cerchio: soluzione per serie; la soluzione esiste solo se
il dato al bordo soddisfa la condizione di compatibilità (integrale
nullo), è unica a meno di costante additiva, è regolare all'interno del
cerchio se il dato al bordo è integrabile sulla circonferenza, assume
il dato
al bordo con continuità se il dato al bordo è continuo sulla
circonferenza e regolare a tratti.
Riferimenti: [S], §3.3.4 (per ora solo in parte). v. file pdf
"Laplaciano sul cerchio" (Scaricabile dalla pagina webeep).
Richiami su: risultati sulla
continuità e derivabilità termine a termine di serie di funzioni sotto
opportune ipotesi di convergenza uniforme; criterio della convergenza
totale per la convergenza uniforme; condizioni per la convergenza
totale di serie di
Fourier.
Riferimenti: v. file pdf
"Toolbox 01. Serie di funzioni". (Scaricabile dalla pagina webeep).
Formula integrale di Poisson:
sua deduzione dalla formula di
rappresentazione per serie. Se il dato al bordo è integrabile e
limitato, allora la u assegnata dalla formula risolutiva per serie
coincide con la u assegnata dalla formula integrale di Poisson, di
conseguenza è una funzione armonica e infinitamente derivabile
all'interno del cerchio (*). Proprietà del nucleo di Poisson: è
positivo, ha integrale 1 sul bordo.
(*). La formula integrale di
Poisson sul cerchio assegna una funzione che assume con
continuità il dato al bordo se questo è una funzione continua sul bordo
(*).
Problema di Dirichlet sul semipiano: risoluzione
mediante trasformata di Fourier, discussione della soluzione trovata,
nucleo di Poisson sul semipiano. Proprietà del nucleo di Poisson: è
positivo, regolare e armonico nel semipiano, è un nucleo
regolarizzante. (*).
La formula integrale di Poisson nel semipiano assegna una funzione
armonica e regolare nel semipiano (*), che assume il dato al bordo in
senso L1 se il dato è L1 , in senso uniforme se
il dato è anche continuo e tende a zero all'infinito (*).
Richiami sui risultati di
continuità e derivabilità di un integrale dipendente da un parametro.
Richiami su: risultati di base
sulla trasformata di Fourier; derivazione sotto il segno di integrale;
convoluzione e nuclei regolarizzanti.
Riferimenti: v. file pdf
"Toolbox 02. Trasformata" e file pdf "Laplaciano nel semipiano"
(Scaricabile dalla pagina webeep).
Richiami
su: coordinate sferiche in Rⁿ, integrale di
funzioni radiali;
Richiami su: proprietà di base
delle distribuzioni.
L'equazione di Poisson in tutto lo spazio. Soluzione
fondamentale. Determinazione delle soluzioni radiali
dell'equazione di Laplace
nello spazio privato dell'origine (*); Teorema sulla soluzione fondamentale
del
laplaciano in dimensione n≥2 (dimostrazione per n≥3) (*) e risoluzione
dell'equazione di Poisson in
tutto lo spazio con termine noto C2 a supporto compatto (*).
Riferimenti: v. file pdf
"Toolbox 03. Integrali radiali"; file pdf "Toolbox 04. Distribuzioni.
1." (Scaricabile dalla pagina webeep). v. [S] §3.4.1, 3.4.2, §7.2.2
(per
l'Esempio 2.2). L'equazione di Poisson in un dominio
limitato.
Funzione di Green.
Definizione di funzione di Green, sua esistenza per un dominio limitato
lipschitziano, sua positività e simmetria.. Formula di rappresentazione
di una funzione su un dominio mediante la funzione di Green per funzioni regolari.
Relazione col problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace:
definizione di nucleo di Poisson. "Metodo delle immagini" e costruzione
esplicita della funzione di Green e del nucleo di Poisson per il
semispazio. Funzione di Green e nucleo di Poisson per la sfera: sua
definizione, risolubilità classica del problema di Dirichlet sulla
sfera mediante il nucleo di Poisson e regolarità della soluzione.
Riferimenti: v. [S], §3.5.1, 3.5.2, 3.5.3.
Proprietà generali delle funzioni armoniche.
Proprietà della media (*), principio del massimo forte (*), risultato
di unicità per il problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson (*)
e stima di stabilità per il problema di Dirichlet per l'equazione di
Laplace (*). Regolarità delle funzioni armoniche. Teorema inverso
della media (*).
Riferimenti: v. [S], § 3.3.2, 3.3.3.
Equazioni di diffusione
Generalità. Deduzione dell'equazione di diffusione
del calore (o di una sostanza disciolta) in un mezzo continuo (*). Modelli
di diffusione, trasporto e reazione.
Riferimenti: v. [S], § 2.1.2, 2.5.1.
Equazione del calore,
simmetrie,
tipi di problemi naturali per quest'equazione. Frontiera parabolica.
Il problema di Cauchy-Dirichlet su cilindri limitati: Principio di
massimo (*), teorema di unicità (*), teorema di confronto (*),
stima di stabilità (*).
Unicità per il problema di
Neumann o Robin su cilindri limitati regolari.
Problemi unidimensionali. Equazione
di diffusione
sul segmento. Il problema di Cauchy-Dirichlet omogeneo: risoluzione per
separazione di variabili e discussione della formula risolutiva per
serie ottenuta: la funzione assegnata dalla serie di funzioni
è regolare per t>0, soddisfa l'equazione del calore e le
condizioni agli
estremi per t>0, e tende a zero uniformemente per t->infinito, se
il dato iniziale è
integrabile su [0,L] (*), assume il dato al bordo con
continuità se il dato iniziale è continuo su [0,L], nullo agli estremi
e regolare a tratti (*), lo assume in senso L2 se il dato
iniziale è L2
(*).
Problema di Cauchy-Neumann sul segmento: risoluzione per separazione di
variabili e discussione analoga delle proprietà della soluzione
trovata. In particolare: la condizione iniziale è assunta in senso
classico se il dato iniziale è continuo e regolare a tratti su [0,L]
(*), lo assume in senso L2 se il dato
iniziale è L2
(*); comportamento per tempi lunghi: la soluzione
tende uniformemente alla media integrale del dato iniziale (*).
Riferimenti: v. [S], § 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.2. v. file pdf
"03_calore_segmento" (Scaricabile da webeep).
Equazione
del calore in tutto lo spazio. Un teorema di unicità per il
problema di
Cauchy globale, nella classe di soluzioni limitate su una striscia.
Risoluzione del problema mediante
trasformata di Fourier (*), nucleo del calore in Rn e sue
proprietà: ha integrale 1 in Rn per
t fissato, si può vedere come famiglia di nuclei regolarizzanti.
Discussione della soluzione ottenuta: se il dato iniziale è
integrabile, u(x,t) è regolare per t>0 (*), soddisfa l'equazione
(*), tende a zero per tempi lunghi (*). Le prime due proprietà (ma non
la terza) valgono anche se il dato iniziale è limitato (ma non
integrabile). La soluzione soddisfa la condizione iniziale in senso L1
se il dato iniziale è L1, in senso classico se il dato
iniziale è uniformemente continuo e limitato.
Equazione del calore non omogenea, in tutto lo spazio: risoluzione
(formale) del problema di Cauchy con dato iniziale nullo col metodo
della trasformata di Fourier e, in alternativa, col metodo di Duhamel.
Spiegazione del metodo di Duhamel. Formula risolutiva per il problema
di Cauchy (condizione iniziale non nulla) per l'equazione non omogenea
(principio di sovrapposizione).
Il nucleo del calore come soluzione del
problema di Cauchy per
l'equazione del calore omogenea con condizione iniziale delta (in Rn) (*).
Il nucleo del calore (prolungato a zero per tempi negativi) come
soluzione fondamentale dell'equazione del calore in Rn+1 (*).
Conseguenza: dimostrazione della formula risolutiva per il
problema di Cauchy per l'equazione del calore non omogenea, sotto
opportune ipotesi di regolarità sul termine noto (*).
Riferimenti: v. [S], § 2.8. v.
file pdf
"04_calore_spazio" (Scaricabile da webeep).
Equazione lineare del trasporto
Deduzione dell'equazione lineare del trasporto, con
termine di reazione e sorgente. Equazione omogenea (in una dimensione
spaziale): calcolo dell'integrale generale e soluzione del problema di
Cauchy col metodo delle linee caratteristiche (*). Equazione non
omogenea: determinazione della
formula risolutiva col metodo di Duhamel e dimostrazione della sua
validità sotto opportune ipotesi sul termine di sorgente (*).
Equazione
omogenea o non omogenea con termine di reazione: determinazione della
formula risolutiva mediante funzione ausiliaria (*). Cenno alla
generalizzazione
delle formule risolutive precedenti al caso n-dimensionale. Carattere
non regolarizzante dell'equazione lineare del trasporto.
Motivazione a introdurre il
concetto di soluzione debole.
Definizione di soluzione
debole dell'equazione lineare del trasporto. Ogni soluzione classica è
una soluzione debole (*); ogni soluzione debole e regolare è una
soluzione classica (*); le soluzioni fornite dalle formule di
rappresentazione stabilite in precedenza, quando la condizione iniziale
non è regolare sono soluzioni deboli.
Riferimenti: v. [S], §4.1, 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, 4.4.2 (ma a lezione
abbiamo trattato solo il caso lineare).
Equazione delle onde
La corda vibrante. Deduzione
fisica dell'equazione
della corda vibrante. (*) Deduzione dell'espressione analitica
dell'energia della corda. (*) Problemi ai valori iniziali e agli
estremi. Teorema di unicità per
problemi di Cauchy-Dirichlet e Cauchy-Neumann sul segmento. (*).
Riferimenti: v. [S], 5.2.1, 5.2.2, 5.3.1.
Il problema di
Cauchy-Dirichlet per l'equazione
omogenea della corda fissata agli estremi: risoluzione per separazione
di
variabili (*), discussione delle ipotesi sotto cui vale la formula
trovata (*), significati fisici dei singoli addendi della formula risolutiva: vibrazioni stazionarie, nodi,
armoniche,
frequenza fondamentale e frequenze multiple.
Problema di Cauchy sulla
retta: calcolo dell'integrale generale e risoluzione del problema di Cauchy mediante
il metodo di D'Alembert (*); ipotesi
sotto cui vale la formula
di D'Alembert per l'equazione omogenea (*). Stima di stabilità (*).
Carattere non regolarizzante dell'equazione. Dominio di dipendenza e di
influenza.
Equazione
non omogenea sulla retta, metodo di Duhamel per ottenere una formula
risolutiva (*), ipotesi sotto cui la formula ottenuta assegna una soluzione classica.
Soluzioni deboli per l'equazione (omogenea) della corda vibrante
illimitata: definizione di soluzione debole; ogni soluzione classica è
una soluzione debole (*); ogni soluzione debole e regolare (con dati iniziali regolari) è una
soluzione classica; le soluzioni fornite dalla formula di
D'Alembert quando le condizioni iniziali
non sono regolari sono soluzioni deboli.
Riferimenti: v. [S], 5.3.2, 5.4.2 (in parte), 5.4.4.
Equazione delle onde in dimensione n.
Generalità.
Modelli che portano all'equazione delle onde in due o tre variabili
spaziali: membrana elastica, onde sonore, onde elettromagnetiche.
Teorema di unicità per problema di Cauchy-Dirichlet o Cauchy-Neumann su
cilindri limitati lipschitizani (*),
Il problema di
Cauchy-Dirichlet per l'equazione delle onde su un dominio limitato con
condizione di Dirichlet nulla al bordo:
impostazione in geometria e dimensione qualsiasi per separazione di
variabili, problema agli
autovalori per il laplaciano; separazione di variabili per l'analogo
problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore. Proprietà di
autofunzioni e autovalori del laplaciano: gli autovalori sono negativi
(*), autofunzioni relative ad autovalori distinti sono ortogonali in L2.
(*). Risultato generale di esistenza, per un dominio limitato
lipschitziano, di una successione di autovalori e un s.o.n.c. di L2
di corrispondenti autofunzioni. Significato in termini dei problemi di
Cauchy-Dirichlet per l'equazione delle onde o del calore su un dominio
limitato.
Il caso del rettangolo: risoluzione esplicita del problema agli
autovalori per il laplaciano (*) e interpretazione per la membrana
vibrante
rettangolare: modi normali di vibrazione, linee nodali, frequenze;
applicazione al problema analogo per l'equazione del calore sul
rettangolo (*).
Riferimenti: Il metodo di separazione delle variabili per risolvere il
problema di Cauchy-Dirichlet su un dominio limitato di Rⁿ, la
discussione delle proprietà generali di autovalori e autofunzioni del
laplaciano, e la particolarizzazione al caso del rettangolo, si trovano
discusse ad es. sul testo: M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi 3, ed.
CUSL, Cap.22.
Il
problema di Cauchy globale per l'equazione delle onde in dimensione n. Un risultato di unicità per il problema di Cauchy
globale in Rn.
Generalità
sul problema di
Cauchy per l'equazione delle onde: come a partire dalla soluzione del
problema con la sola velocità iniziale diversa da zero si può risolvere
il problema da Cauchy con dati qualsiasi, prima per l'equazione
omogenea e poi per la non omogenea (metodo di Duhamel e principio di
sovrapposizone) (*). Impostazione del problema
di
Cauchy globale in R³ col metodo delle medie sferiche; equazione di
Darboux; deduzione formale della formula di Kirchhoff (*) e ipotesi
sotto
le quali assegna la soluzione del problema di Cauchy. Osservazioni
sulla formula di Kirchhoff: dominio di
dipendenza e di influenza, principio di Huygens forte; confronto tra
regolarità della soluzione e regolarità dei dati iniziali (perdita di
regolarità).
Il
problema di Cauchy globale in R², metodo della discesa di Hadamard,
deduzione formale della
formula di Poisson (*) e ipotesi sotto cui assegna la soluzione.
Dominio di influenza: confronto tra i casi bi- e tri- dimensionale.
Riferimenti: v. [S] 5.7 (in parte), 5.6.2, 5.8.1, 5.8.2, 5.8.3. v.
anche file pdf: "05_onde_Cauchy_globale".
Alcune questioni generali sulle
EDP lineari del 2° ordine
Alcune
relazioni tra equazioni alle derivate parziali e probabilità.
Significati probabilistici di alcune equazioni alle derivate parziali. Cenni
al fenomeno del moto browniano, interpretazione di Einstein, sua
rappresentazione matematica come processo stocastico. Densità di
probabilità di transizione e nucleo del calore. Significato
probabilistico dell'equazione del calore (*). Istante di prima uscita
da un
dominio e significato probabilistico dell'equazione di Laplace (*).
Riferimenti: v. slides della lezione e file pdf
"intermezzo_1_probabilità" su WeBeep.
La classificazione delle equazioni
lineari del second'ordine.
Confronti tra le proprietà delle equazioni di Laplace, del calore,
delle onde riguardo a: problemi al contorno o valori iniziali che è
naturale studiare; ruolo della freccia del tempo; proprietà di
regolarizzazione; tecniche dimostrative usate.
Classificazione delle equazioni lineari del second'ordine. Il caso
degli operatori in 2 variabili: equazioni ellittiche, paraboliche,
iperboliche. Il caso degli operatori del 2° ordine in n variabili, in
forma di divergenza o non divergenza. Definizione di operatore
ellittico in un punto, ellittico in un dominio, uniformemente ellittico
in un dominio. Definizione di operatore iperbolico. Definizione di
operatore parabolico in un punto, in un dominio, o uniformemente
parabolico. Alcune proprietà degli operatori (uniformemente)
ellittici, parabolici, iperbolici: cenno al significato generale di
"problema di Cauchy", problemi naturali da studiare per operatori
ellittici, parabolici, iperbolici, proprietà di regolarizzazione.
Esempi di operatori ellittici degeneri e ultraparabolici, cenno alla
possibile caduta delle proprietà di regolarità.
Riferimenti: v. slides della lezione e file pdf "intermezzo_2_tipi di
equazioni" su WeBeep.
Elementi di analisi funzionale
e formulazione debole
dei problemi ai limiti per equazioni ellittiche
Spazi di Sobolev
Generalità sugli spazi di
Sobolev. Definizione
di derivata debole di una funzione localmente integrabile, in una o più
variabili, e confronto con il concetto di derivata distribuzionale.
Esempi: la derivata debole e distribuzionale di |x| in R è sgn(x), la
derivata debole del gradino di Heaviside in R non esiste, la derivata
distribuzionale è la delta di Dirac. Definizione degli spazi di Sobolev
H¹(Ω) o W1,p(Ω), prodotto scalare in H¹(Ω), norma in W1,p(Ω).
Lo spazio H¹(Ω) è di Hilbert (*), gli spazi W1,p(Ω) sono di
Banach, per ogni p in [1,inifnito]. Caratterizzazione di H¹(a,b),
esempi di funzioni
discontinue e illimitate in H¹(Ω) in dimensione >1.
Funzioni nulle al bordo. Lo
spazio H₀¹(Ω): definizione, formula di integrazione per parti tra
una funzione H₀¹(Ω) e una H¹(Ω). (*). Disuguaglianza di Poincaré su
domini limitati (*); conseguenza: norme equivalenti in H₀¹(Ω) (*).
Duale di
H₀¹(Ω), sua caratterizzazione distribuzionale (*), esempi di elementi
del duale H-1(Ω) in dimensione 1 o superiore.
Definizione degli spazi Hm(Ω), loro prodotto scalare e
norma.
Approssimazioni locali e globali
di funzioni H¹
con funzioni regolari: teorema di approssimazione (locale) di una
funzione H1(Ω) con funzioni test; teorema di approssimazione
globale di funzioni H1(Rn) con funzioni
test (cioè: H10(Rn)=H1(Rn));
teorema di approssimazione globale di funzioni H1(Ω)
con funzioni regolari fino alla chiusura del dominio, sotto opportune
ipotesi sul dominio. Conseguenza: formula di derivazione del
prodotto di due funzioni H¹(Ω). (*).
Traccia di una funzione H¹(Ω).
Il problema della traccia. Teorema di
traccia: operatore di traccia da H¹(Ω) a L2(dΩ).
Conseguenze: formula di integrazione per parti per due funzioni H1(Ω)
(*). Lo spazio delle tracce H1/2(dΩ), rilevamento di una
traccia.
Riferimenti: [S], (Prerequisiti: distribuzioni, §7.1.3, 7.2.1, 7.3.1).
Spazi di Sobolev: 7.5.2, 7.5.3, 7.5.4, 7.5.5, 7.5.6.
Complementi sugli spazi di Hilbert (Seconda
parte).
Forme bilineari su spazi prehilbertiani, definizione di forma bilineare
simmetrica, continua, coerciva, non negativa. Il prodotto scalare è una
forma bilineare con le proprietà precedenti (*). Esempi di forme
bilineari che hanno o non hanno le proprietà precedenti.
Definizione di
problema
variazionale astratto per una forma bilineare su uno spazio di Hilbert.
Teorema di
buona posizione del problema variazionale astratto per una
forma bilineare simmetrica, continua e coerciva. (*). Relazione tra
soluzione di un problema variazionale astratto e minimizzazione del
funzionale quadratico associato alla forma bilineare (*). Il caso di
forme non simmetriche: Teorema di Lax-Milgram.
Formulazione debole di problemi ai limiti per
equazioni ellittiche.
a. Operatori
ellittici con parte principale e termine di ordine zero: problema di
Dirichlet omogeneo. Definizione di soluzione debole. Ogni soluzione
classica del problema (sotto opportune ipotesi) è anche soluzione debole (*). Ogni soluzione
debole del problema, se è regolare e i coefficienti sono regolari (con opportune ipotesi), è
anche soluzione classica. (*). Soluzione debole del problema come
soluzione di un problema variazionale astratto. Risultato di buona
posizione per questo problema, sotto le opportune ipotesi su
coefficienti e dominio. (*). Interpretazione
della soluzione del
problema ai limiti come soluzione di un problema di minimo di
funzionale. (*)
b. Operatori ellittici con parte principale e termine di ordine zero:
problema di Neumann omogeneo. Definizione di soluzione debole. Ogni
soluzione classica del problema è
anche soluzione debole (*). Ogni soluzione debole del problema, se è
regolare e i coefficienti sono regolari, è anche soluzione classica.
(*). Soluzione debole del problema come soluzione di un problema
variazionale astratto. Risultato di buona posizione per questo
problema, sotto le opportune ipotesi su coefficienti e dominio. (*).
Interpretazione della soluzione del problema ai limiti come soluzione
di un problema di minimo di funzionale.
c. Operatori ellittici
generali in forma di
divergenza (con matrice dei coefficienti della parte principale,
termini nelle derivate prime e nella u).
Formulazione debole del problema di Dirichlet con dato al bordo 0,
risultato di buona posizione (*). Il caso del dato al bordo non zero:
come ricondursi al caso precedente: 1) vedendo il dato al bordo come
funzione H1:
risultato di buona posizione (*); 2) assegnando il dato al bordo in uno
spazio di tracce; risultato di unicità (*) e poi di buona posizione,
sotto opportune ipotesi (*).
Formulazione debole del problema di Neumann, con dato al
bordo non omogeneo, L2 sul bordo. Buona posizione per questo
problemi,
sotto le opportune ipotesi. (*).
Riferimenti: [S], §6.6.1,
6.6.2