Programma definitivo dettagliato del modulo di Metodi Analitici per le Equazioni alle Derivate Parziali
Ing. Matematica (5 crediti - ord. L.270)
Politecnico di Milano
A.A. 2024/2025.  Prof. M. Bramanti

Tutti i riferimenti bibliografici indicati in questo programma fanno riferimento al libro di testo: M. Bramanti: Equazioni alle derivate parziali. Un primo corso. Ed. Esculapio, 2025.

Le dimostrazioni svolte a lezione e in programma sono indicate con (*). Richiami e prerequisiti necessari a comprendere gli argomenti del corso sono indicati in questo programma nell'ordine utile allo studio degli argomenti del corso stesso.
Introduzione
Generalità sulle equazioni alle derivate parziali e tipi di modelli fisici che traducono. Classificazione delle EDP da vari punti di vista ed esempi. Problemi al contorno e ai valori iniziali, problemi ben posti.

Riferimenti: Cap. 1.

Prerequisiti, richiami di analisi funzionale e complementi su spazi di Hilbert
Spazi vettoriali (reali) normati, successioni di Cauchy e completezza. Spazi di Banach. Esempi di spazi di funzioni continue o integrabili. Spazi Lp, C0, C0*
Spazi vettoriali con prodotto scalare: assiomi di prodotto scalare, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, norma indotta dal prodotto scalare. Spazi prehilbertiani, ortogonalità. Spazi di Hilbert. Continuità del prodotto scalare e della norma. Esempi di spazi di Hilbert, spazi di Banach che non sono di Hilbert. Teorema di Pitagora per un numero finito o una successione di elementi a due a due ortogonali, in spazi di Hilbert.
Generalità su operatori e funzionali lineari continui su spazi vettoriali normati: definizione di operatore lineare continuo, sua norma, spazio L(X,Y), funzionali lineari continui, spazio duale X*. Esempi di funzionali lineari continui su spazi di funzioni continue o integrabili. Richiami sulla disuguaglianza di Holder, funzionali lineari continui su Lp, teorema di Riesz sul duale di Lp. Il caso particolare di L2. Funzionali lineari continui su spazi di Hilbert: funzionale indotto dal prodotto scalare con un elemento fissato e, viceversa, teorema di rappresentazione di Riesz: identificazione del duale H* con H per spazi di Hilbert.
Geometria negli spazi di Hilbert: Teorema della proiezione su sottospazi di Hilbert di dimensione finita muniti di una base ortonormale. Sistemi ortonormali completi, serie e trasformata di Fourier rispetto a un s.o.n.c. Applicazione alle serie di Fourier in L2(0,T).

Riferimenti: Par. 2.3.

Equazione di Laplace-Poisson
Preliminari su domini e identità integrali. Definizione di dominio di classe C1, dominio lipschitziano, teorema della divergenza su un dominio limitato e lipschitziano di Rn. Prima e seconda identità di Green (*).

Riferimenti: Par. 2.1.

Generalità sull'equazione di Laplace-Poisson.
Modelli fisici e motivazioni matematiche che portano all'equazione di Laplace-Poisson in dimensione 2 o 3: deduzione dell'equazione di Poisson per il potenziale elettrostatico o gravitazionale; equazione di Laplace per il potenziale di velocità di un fluido incomprimibile in moto non vorticoso; equazione di Poisson come caso stazionario dell'equazione del calore, per la temperatura di un sistema in equilibrio termico, e come equazione della membrana elastica in equilibrio (caso stazionario dell'equazione della membrana vibrante). Relazione tra funzioni armoniche in due variabili e funzioni olomorfe: la parte reale e la parte immaginaria di una funzione olomorfa in un aperto del piano sono funzioni armoniche in quell'aperto. Esempi: le funzioni armoniche fondamentali del piano, parte reale e immaginaria di zn.
Problemi al contorno tipici per l'equazione di Laplace-Poisson: i problemi di Dirichlet, Neumann, Robin e il problema misto; alcuni loro significati fisici. Il concetto di soluzione classica.
Teorema di unicità, su domini limitati lipschitziani, per i problemi di Dirichlet, di Robin e misto, e di unicità a meno di costante additiva per il problema di Neumann, nella classe di funzioni C2 all'interno e C1 fino al bordo del dominio (*). Condizione di compatibilità per il problema di Neumann (*).

Riferimenti: Par. 3.1, 3.2.

Richiami su: risultati sulla continuità e derivabilità termine a termine di serie di funzioni sotto opportune ipotesi di convergenza uniforme; criterio della convergenza totale per la convergenza uniforme; condizioni per la convergenza totale di serie di Fourier.

Riferimenti: Par. 2.4.

Richiami su: risultati di continuità e derivabilità di un integrale dipendente da un parametro; risultati di base sulla trasformata di Fourier; convoluzione e nuclei regolarizzanti.

Riferimenti: Par. 2.6, 2.7, 2.8.

L'equazione di Laplace sul cerchio.
Il problema di Dirichlet sul cerchio: risoluzione per separazione di variabili, discussione della soluzione trovata: la funzione assegnata dalla serie di funzioni è regolare e armonica all'interno del cerchio se il dato al bordo è integrabile sulla circonferenza (*), assume il dato al bordo con continuità se il dato al bordo è continuo sulla circonferenza e regolare a tratti (*), lo assume in senso L2 se il dato al bordo è L2 (*).
Problema di Neumann sul cerchio: soluzione per serie; la soluzione esiste solo se il dato al bordo soddisfa la condizione di compatibilità (integrale nullo), è unica a meno di costante additiva, è regolare all'interno del cerchio se il dato al bordo è integrabile sulla circonferenza, assume il dato al bordo con continuità se il dato al bordo è continuo sulla circonferenza e regolare a tratti.
Formula integrale di Poisson: sua deduzione dalla formula di rappresentazione per serie (*). Se il dato al bordo è integrabile e limitato, allora la u assegnata dalla formula risolutiva per serie coincide con la u assegnata dalla formula integrale di Poisson, di conseguenza è una funzione armonica e infinitamente derivabile all'interno del cerchio. La formula integrale di Poisson sul cerchio assegna una funzione che assume con continuità il dato al bordo se questo è una funzione continua sul bordo.

Riferimenti: Par. 3.3.

L'equazione di Laplace sul semipiano
Problema di Dirichlet sul semipiano: risoluzione mediante trasformata di Fourier, discussione della soluzione trovata, nucleo di Poisson sul semipiano. Proprietà del nucleo di Poisson: è positivo, regolare e armonico nel semipiano, è un nucleo regolarizzante. (*).
La formula integrale di Poisson nel semipiano assegna una funzione armonica e regolare nel semipiano (*), che assume il dato al bordo in senso L1 se il dato è L1 , in senso uniforme se il dato è anche continuo e tende a zero all'infinito (*).

Riferimenti: Par. 3.4.

Richiami su: coordinate sferiche in Rⁿ, integrale di funzioni radiali.

Riferimenti: Par. 2.2.

Proprietà generali dell'operatore di Laplace.
Principio del massimo per l'equazione di Poisson (*). Risultato di unicità per il problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson (*). Dipendenza continua per il problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson (*). Proprietà della media per le funzioni armoniche (*), equivalenza tra le due proprietà di media (*), regolarità delle funzioni continue che soddisfano la proprietà di media, quindi delle  funzioni armoniche (*). Teorema inverso della media (*).

Riferimenti: Par. 3.5.

Richiami su: proprietà di base delle distribuzioni.

Riferimenti: Par. 2.5.

L'equazione di Poisson in tutto lo spazio. Soluzione fondamentale.
Determinazione delle soluzioni radiali dell'equazione di Laplace nello spazio privato dell'origine (*); Teorema sulla soluzione fondamentale del laplaciano in dimensione n≥2 (dimostrazione per n≥3) (*) e risoluzione dell'equazione di Poisson in tutto lo spazio con termine noto C2 a supporto compatto (*).

Riferimenti: Par. 3.6.2.

L'equazione di Poisson in un dominio limitato. Funzione di Green.
Definizione di funzione di Green. Se esiste è lolcamente integrabile e regolare fuori dal polo; su un aperto limitato, se esiste è unica. Deduzione non rigorosa della formula di rappresentazione di una funzione regolare su un dominio mediante integrali coinvolgenti la Green e la sua derivata normale. Teorema. Se il dominio è limitato e Lipschitziano ed esiste la Green, allora vale la formula di rappresentazione precedente, la G(x,y) è positiva e simmetrica. Teorema. Nelle ipotesi precedenti, il nucleo di Poisson P(x,z) è armonico in x e ha integrale 1 in z. Cenni alla costruzione della funzione di Green e del nucleo di Poisson per il semispazio e per la sfera, in dimensione n qualsiasi. Teorema: La formula integrale di Poisson fornisce la soluzione classica del problema di Dirichlet sulla sfera, con dato continuo, per l'equazione di Laplace. (*).

Riferimenti: Par. 3.7.1, 3.7.2.

Equazioni di diffusione
Generalità. Deduzione dell'equazione di diffusione del calore (o di una sostanza disciolta) in un mezzo continuo (*). Modelli di diffusione, trasporto e reazione.
Equazione del calore, simmetrie, tipi di problemi naturali per quest'equazione. Frontiera parabolica. Il problema di Cauchy-Dirichlet su cilindri limitati: Principio di massimo debole (*), teorema di unicità (*), stima di stabilità (*). Unicità per il problema di Neumann o Robin su cilindri limitati regolari.

Riferimenti: Par. 4.1.

Equazione del calore sul segmento.
Equazione di diffusione sul segmento. Il problema di Cauchy-Dirichlet omogeneo: risoluzione per separazione di variabili e discussione della formula risolutiva per serie ottenuta: la funzione assegnata dalla serie di funzioni è regolare per t>0,  soddisfa l'equazione del calore e le condizioni agli estremi per t>0, e tende a zero uniformemente per t->infinito, se il dato iniziale  è integrabile su [0,L] (*), assume il dato al bordo con continuità se il dato iniziale è continuo su [0,L], nullo agli estremi e regolare a tratti (*), lo assume in senso L2 se il dato iniziale è L2 (*).
Problema di Cauchy-Neumann sul segmento: risoluzione per separazione di variabili e discussione analoga delle proprietà della soluzione trovata. In particolare: la condizione iniziale è assunta in senso classico se il dato iniziale è continuo e regolare a tratti su [0,L] (*), lo assume in senso L2 se il dato iniziale è L2 (*); comportamento per tempi lunghi: la soluzione tende uniformemente alla media integrale del dato iniziale (*).

Riferimenti: Par. 4.2.
Per i richiami sulla tecnica di sviluppo di Fourier in serie di soli seni o soli coseni, si veda il Par. 2.4.2.

Equazione del calore in tutto lo spazio.
Un teorema di unicità per il problema di Cauchy globale, nella classe di soluzioni limitate su una striscia. Risoluzione del problema mediante trasformata di Fourier (*), nucleo del calore in Rn e sue proprietà: ha integrale 1 in Rn per t fissato, si può vedere come famiglia di nuclei regolarizzanti. Discussione della soluzione ottenuta: se il dato iniziale è integrabile, u(x,t) è regolare per t>0 (*), soddisfa l'equazione (*), tende a zero per tempi lunghi (*). Le prime due proprietà (ma non la terza) valgono anche se il dato iniziale è limitato (ma non integrabile). La soluzione soddisfa la condizione iniziale in senso L1 se il dato iniziale è L1, in senso classico se il dato iniziale è continuo e tende a zero all'infinito (*).
Equazione del calore non omogenea, in tutto lo spazio: risoluzione (formale) del problema di Cauchy con dato iniziale nullo col metodo della trasformata di Fourier e, in alternativa, col metodo di Duhamel. Spiegazione del metodo di Duhamel. Formula risolutiva per il problema di Cauchy (condizione iniziale non nulla) per l'equazione non omogenea (principio di sovrapposizione).
Il nucleo del calore come soluzione del problema di Cauchy per l'equazione del calore omogenea con condizione iniziale delta (in Rn) (*). Il nucleo del calore (prolungato a zero per tempi negativi) come soluzione fondamentale dell'equazione del calore in Rn+1 (*). Conseguenza: dimostrazione della formula risolutiva per il problema di Cauchy per l'equazione del calore non omogenea, sotto opportune ipotesi di regolarità sul termine noto (*).

Riferimenti: Par. 4.3, tranne Par. 4.3.4.

Equazione lineare del trasporto
Deduzione dell'equazione lineare del trasporto, con termine di reazione e sorgente. Equazione omogenea (in una dimensione spaziale): calcolo dell'integrale generale e soluzione del problema di Cauchy col metodo delle linee caratteristiche (*). Equazione non omogenea: determinazione della formula risolutiva col metodo di Duhamel e dimostrazione della sua validità sotto opportune ipotesi sul termine di sorgente (*).
Equazione omogenea o non omogenea con termine di reazione: determinazione della formula risolutiva mediante funzione ausiliaria (*). Cenno alla generalizzazione delle formule risolutive precedenti al caso n-dimensionale. Carattere non regolarizzante dell'equazione lineare del trasporto.
Motivazione a introdurre il concetto di soluzione debole. Definizione di soluzione debole dell'equazione lineare del trasporto. Ogni soluzione classica è una soluzione debole  (*); ogni soluzione debole e regolare è una soluzione classica (*); le soluzioni fornite dalle formule di rappresentazione stabilite in precedenza, quando la condizione iniziale non è regolare sono soluzioni deboli (* dimostrazione nel caso dell'equazione omogenea).

Riferimenti: Cap. 5.

Equazione delle onde
La corda vibrante.
Deduzione fisica dell'equazione della corda vibrante. (*) Deduzione dell'espressione analitica dell'energia della corda. (*) Problemi ai valori iniziali e agli estremi. Teorema di unicità per problemi di Cauchy-Dirichlet e Cauchy-Neumann sul segmento. (*). 
Il problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione omogenea della corda fissata agli estremi: risoluzione per separazione di variabili (*), discussione delle ipotesi sotto cui vale la formula trovata (*), significati fisici dei singoli addendi della formula risolutiva: vibrazioni stazionarie, nodi, armoniche, frequenza fondamentale e frequenze multiple.
Problema di Cauchy sulla retta: calcolo dell'integrale generale (*) e risoluzione del problema di Cauchy mediante il metodo di D'Alembert (*); ipotesi sotto cui vale la formula di D'Alembert per l'equazione omogenea (*). Unicità, stima di stabilità (*). Carattere non regolarizzante dell'equazione. Dominio di dipendenza e di influenza.
Equazione non omogenea sulla retta, metodo di Duhamel per ottenere una formula risolutiva (*), ipotesi sotto cui la formula ottenuta assegna una soluzione classica (*).
Soluzioni deboli per l'equazione (omogenea) della corda vibrante illimitata: definizione di soluzione debole; ogni soluzione classica è una soluzione debole (*); ogni soluzione debole e regolare (con dati iniziali regolari) è una soluzione classica; le soluzioni fornite dalla formula di D'Alembert quando le condizioni iniziali non sono regolari sono soluzioni deboli.

Riferimenti: Par. 6.1.
Per il teorema sulla velocità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, si veda il par. 2.4.2, Teorema 2.71.

Equazione delle onde in dimensione n.
Generalità. Modelli che portano all'equazione delle onde in due o tre variabili spaziali: membrana elastica, onde sonore, onde elettromagnetiche. Teorema di unicità per problema di Cauchy-Dirichlet o Cauchy-Neumann su cilindri limitati lipschitizani (*).

Riferimenti: Par. 6.2, 6.3.1.

Il problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione delle onde su un dominio limitato con condizione di Dirichlet nulla al bordo: impostazione in geometria e dimensione qualsiasi per separazione di variabili, problema agli autovalori per il laplaciano; separazione di variabili per l'analogo problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore. Proprietà di autofunzioni e autovalori del laplaciano: gli autovalori sono positivi (*), autofunzioni relative ad autovalori distinti sono ortogonali in L2. (*). Risultato generale di esistenza, per un dominio limitato lipschitziano, di una successione di autovalori e un s.o.n.c. di L2 di corrispondenti autofunzioni. Significato in termini dei problemi di Cauchy-Dirichlet per l'equazione delle onde o del calore su un dominio limitato.

Riferimenti: Par. 6.3.2, 6.3.3.

Il problema di Cauchy globale per l'equazione delle onde in dimensione n.
Problema di Cauchy per l'equazione delle onde: come a partire dalla soluzione del problema con la sola velocità iniziale diversa da zero si può risolvere il problema da Cauchy con dati qualsiasi, prima per l'equazione omogenea e poi per la non omogenea (metodo di Duhamel e principio di sovrapposizone) (*). Impostazione del problema di Cauchy globale in R³ col metodo delle medie sferiche (*); equazione di Darboux; deduzione della formula di Kirchhoff (*) e ipotesi sotto le quali assegna la soluzione del problema di Cauchy. Osservazioni sulla formula di Kirchhoff: dominio di dipendenza e di influenza, principio di Huygens forte; confronto tra regolarità della soluzione e regolarità dei dati iniziali (perdita di regolarità).
Il problema di Cauchy globale in R², metodo della discesa di Hadamard, deduzione formale della formula di Poisson (*) e ipotesi sotto cui assegna la soluzione. Dominio di influenza: confronto tra i casi bi- e tri- dimensionale.

Riferimenti: Par. 6.4.1, 6.4.2, 6.4.3.

Alcune questioni generali sulle EDP lineari del 2° ordine

Alcune relazioni tra equazioni alle derivate parziali e probabilità. Significati probabilistici di alcune equazioni alle derivate parziali. Cenni al fenomeno del moto browniano, interpretazione di Einstein, sua rappresentazione matematica come processo stocastico. Densità di probabilità di transizione e nucleo del calore. Significato probabilistico dell'equazione del calore (*). Istante di prima uscita da un dominio e significato probabilistico dell'equazione di Laplace (*).

Riferimenti:  Par. 8.1.

La classificazione delle equazioni lineari del second'ordine. Confronti tra le proprietà delle equazioni di Laplace, del calore, delle onde riguardo a: problemi al contorno o valori iniziali che è naturale studiare; ruolo della freccia del tempo; proprietà di regolarizzazione; tecniche dimostrative usate.
Classificazione delle equazioni lineari del second'ordine. Il caso degli operatori in 2 variabili: equazioni ellittiche, paraboliche, iperboliche. Il caso degli operatori del 2° ordine in n variabili, in forma di divergenza o non divergenza. Definizione di operatore ellittico in un punto, ellittico in un dominio, uniformemente ellittico in un dominio. Definizione di operatore iperbolico. Definizione di operatore parabolico in un punto, in un dominio, o uniformemente parabolico.  Problema di Cauchy per un operatore lineare del second'ordine generale, definizione di superficie caratteristica e condizione necessaria per la buona posizione del problema di Cauchy. Alcune proprietà degli operatori (uniformemente) ellittici, parabolici, iperbolici: problemi naturali da studiare per operatori ellittici, parabolici, iperbolici, proprietà di regolarizzazione. Cenni ai concetti di operatori ellittici degeneri, operatori ultraparabolici.

Riferimenti: Cap. 7. (Tranne il par. 7.2.5).

Elementi di analisi funzionale e formulazione debole dei problemi ai limiti per equazioni ellittiche

Motivazioni per introdurre il concetto di soluzione debole per operatori ellittici a coefficienti variabili.

Riferimenti: Par. 9.1.

Spazi di Sobolev
Generalità sugli spazi di Sobolev. Definizione di derivata debole di una funzione localmente integrabile, in una o più variabili, e confronto con il concetto di derivata distribuzionale. Esempi: la derivata debole e distribuzionale di |x| in R è sgn(x), la derivata debole del gradino di Heaviside in R non esiste, la derivata distribuzionale è la delta di Dirac. La derivata debole se esiste è unica (*). Se una funzione ha derivate (prime) deboli identicamente nulle in un dominio, allora è costante quasi ovunque. Derivate deboli successive. Teorema di Schwartz per le derivate miste. Notazione multiindice per le derivate di ordine superiore. Definizione degli spazi di Sobolev Hk(Ω) o Wk,p(Ω), prodotto scalare in Hk(Ω), norma in Wk,p(Ω). Gli spazi Hk(Ω) sono di Hilbert, Wk,p(Ω) sono di Banach (* dimostrazione per H¹(Ω)), per ogni p in [1,inifnito]. Caratterizzazione di H¹(a,b), esempi di funzioni discontinue e illimitate in H¹(Ω) in dimensione >1.
Funzioni nulle al bordo. Lo spazio H₀¹(Ω): definizione, formula di integrazione per parti tra una funzione H₀¹(Ω) e una H¹(Ω). (*). Disuguaglianza di Poincaré su domini limitati (*); conseguenza: norme equivalenti in H₀¹(Ω) (*). Duale di H₀¹(Ω), sua caratterizzazione distribuzionale (*), esempi di elementi del duale H-1(Ω) in dimensione 1 o superiore.
Approssimazioni locali e globali di funzioni H¹ con funzioni regolari: teorema di approssimazione (locale) di una funzione H1(Ω) con funzioni test; teorema di approssimazione globale di funzioni H1(Ω) con funzioni regolari fino alla chiusura del dominio, per domini Lipschitziani.  Conseguenza: H10(Rn)=H1(Rn). Formula di derivazione del prodotto di due funzioni H¹(Ω). (*).
Traccia di una funzione H¹(Ω). Il problema della traccia. Teorema di traccia: operatore di traccia da H¹(Ω) a L2(dΩ). Conseguenze: formula di integrazione per parti per due funzioni H1(Ω) (*). Lo spazio delle tracce H1/2(dΩ), rilevamento di una traccia.

Riferimenti: Par. 9.2.

Complementi sugli spazi di Hilbert.
Forme bilineari su spazi prehilbertiani, definizione di forma bilineare simmetrica, continua, coerciva, non negativa. Il prodotto scalare è una forma bilineare con le proprietà precedenti (*). Esempi di forme bilineari che hanno o non hanno le proprietà precedenti.
Definizione di problema variazionale astratto per una forma bilineare su uno spazio di Hilbert. Teorema di buona posizione del problema variazionale astratto per una forma bilineare simmetrica, continua e coerciva. (*). Relazione tra soluzione di un problema variazionale astratto e minimizzazione del funzionale quadratico associato alla forma bilineare (*). Il caso di forme non simmetriche: Teorema di Lax-Milgram.

Riferimenti: Par. 9.3.

Formulazione debole di problemi ai limiti per equazioni ellittiche.
a. Operatori ellittici con parte principale e termine di ordine zero: problema di Dirichlet omogeneo. Definizione di soluzione debole. Ogni soluzione classica del problema (sotto opportune ipotesi) è anche soluzione debole (*). Soluzione debole del problema come soluzione di un problema variazionale astratto. Risultato di buona posizione per questo problema, sotto le opportune ipotesi su coefficienti e dominio. (*). Interpretazione della soluzione del problema ai limiti come soluzione di un problema di minimo di funzionale. (*)
b. Operatori ellittici con parte principale e termine di ordine zero: problema di Neumann omogeneo. Definizione di soluzione debole. Ogni soluzione classica del problema è anche soluzione debole (*). Soluzione debole del problema come soluzione di un problema variazionale astratto. Risultato di buona posizione per questo problema, sotto le opportune ipotesi su coefficienti e dominio. (*). Interpretazione della soluzione del problema ai limiti come soluzione di un problema di minimo di funzionale (*).
c. Operatori ellittici generali in forma di divergenza (con matrice dei coefficienti della parte principale, termini nelle derivate prime e nella u). Formulazione debole del problema di Dirichlet con dato al bordo 0, risultato di buona posizione (*). Il caso del dato al bordo non zero: come ricondursi al caso precedente vedendo il dato al bordo come funzione H1: risultato di buona posizione (*). Cenni al caso in cui il dato al bordo è definito solo sul bordo e appartiene a uno spazio di tracce.

Riferimenti: Par. 9.4.