Programma definitivo dettagliato del corso di Metodi Matematici per l'Ingegneria
Ing. Nucleare (5 crediti - ord. L.270)
Politecnico di Milano
A.A. 2021/2022.  Prof. M. Bramanti

Sono indicati i riferimenti ai paragrafi del libro di testo:

M. Bramanti: Metodi di Analisi Matematica per l'Ingegneria. Ed. Esculapio, Bologna 2017 (Ristampa 2019)

I risultati dimostrati sono indicati con (*).

Per la Parte 2 (funzioni di variabili complessa) si utilizza anche una breve dispensa integrativa a disposizione degli studenti come file pdf.


Prima parte del programma

Parte 1. Elementi di analisi funzionale. Spazi di funzioni continue

1. Convergenza uniforme per successioni e serie di funzioni. Spazi Ck.

Nozioni di convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni, confronto tra le due. Significato geometrico della convergenza uniforme.  Esempi di successioni di funzioni continue, o integrabili, o derivabili, convergenti puntualmente a funzioni (rispettivamente) non continue, non integrabili, non derivabili. Teoremi fondamentali sulla convergenza uniforme: limite uniforme di funzioni continue. Limite uniforme e convergenza di integrali (*).  Teorema su convergenza uniforme e derivazione per successioni. 

2. Generalita' sugli spazi di funzioni

Generalita' sugli spazi vettoriali, spazi di funzioni, spazi vettoriali normati, spazi metrici. Esempi di spazi vettoriali normati con norme equivalenti o non. Cenni alla topologia in spazi metrici: intorni sferici, tipi di punti di un insieme, tipi di insiemi, limite di successioni, caratterizzazione successionale dei chiusi, funzioni continue su spazi metrici, esempi di sottoinsiemi aperti o chiusi di spazi di funzioni. Spazi C0, C1, Ck su chiusi e limitati di Rn. Successioni di Cauchy in uno spazio metrico (o vettoriale normato), definizione di spazio metrico completo e spazio di Banach. Un sottoinsieme di uno spazio metrico completo e' completo se e solo se e' chiuso. Completezza di Rn. Esempio di spazio vettoriale normato (di funzioni) non completo: C0[a,b] con norma integrale. La convergenza uniforme e' la convergenza nella norma C0. Completezza degli spazi C0 su un chiuso e limitato. Spazi vettoriali normati di funzioni definiti su tutto R: Cb(R), C*(R), C0(R), loro completezza o meno. Completezza degli spazi C1 e Ck sulla chiusura di un aperto limitato. Non completezza di C1 con la norma C0. Non chiusura di C1 in C0. Spazi di funzioni infinitamente derivabili, non esistenza di una norma che li rende completi. Funzioni infinitamente derivabili a supporto compatto, esempi.

Riferimenti bibliografici: Cap. 1 (tranne §1.2.3).

Parte 2. Teoria delle funzioni derivabili di variabile complessa

1. Generalita' sulle funzioni complesse di variabile complessa, funzioni olomorfe

Richiami sui numeri complessi. Topologia nel campo complesso. Punto all'infinito. Limiti nel campo complesso. Gli insiemi C* e C**. Funzioni complesse di variabile complessa, parte reale e immaginaria. Limiti e continuita' di funzioni complesse di variabili complessa. Argomento principale di un numero complesso.

Riferimenti bibliografici: parte del par. 6.1.

Definizione di derivata di una funzione complessa di variabile complessa, e prime conseguenze: differenziabilita', continuita', algebra delle derivate, formule di calcolo delle derivate delle funzioni zn. Relazione tra derivabilita' in senso complesso e differenziabilita' come funzione da R2 a R2: se f è derivabile in senso complesso allora valgono le condizioni di Cauchy-Riemann (*); f e' derivabile in senso complesso se e solo se e' differenziabile come funzione da R2 a R2 e inoltre valgono le condizioni di CR. Relazione tra matrice jacobiana della funzione da R2 a R2 e derivata in senso complesso (*). Conseguenze delle condizioni CR: funzione a derivata nulla in un aperto connesso e' costante (*); funzione derivabile con parte reale o immaginaria costante e' costante (*). Definizione di funzione olomorfa in un aperto, funzione intera. Esempi di funzioni non olomorfe.

Le funzioni trascendenti elementari nel campo complesso e le loro proprietà: definizione dell'esponenziale complesso ez e, a partire da questo, delle funzioni sinz, cosz, Shz, Chz. Calcolo dell'espressione semplice di parte reale, immaginaria e modulo di queste 5 funzioni (*), loro proprietà di illimitatezza, periodicità, loro zeri; esempi di risoluzione di equazioni nel campo complesso. Dimostrazione della derivabilità e calcolo della derivata della funzione esponenziale (*) e, a partire da questa, delle altre 4 trascendenti elementari.

Riferimenti bibliografici: par. 6.2, 6.4.2 (in parte) e Dispensa Integrativa (v. sopra).

2. Alcune applicazioni fisiche e geometriche del concetto di funzione olomorfa

Funzioni olomorfe come trasformazioni di coordinate nel piano. Cenno al concetto di mappa conforme.

Funzioni armoniche, loro significati fisici. La parte reale o immaginaria di una funzione olomorfa e' una funzione armonica (*). Esempi. Armoniche elementari nel piano. Il problema della ricerca dell'armonica coniugata. Esistenza dell'armonica coniugata in un dominio semplicemente connesso (*).

Riferimenti bibliografici: parte del par. 6.3.

4. Integrazione nel campo complesso, teoremi integrali di Cauchy e analiticita' delle funzioni olomorfe

Generalita' sulle curve nel campo complesso: arco di curva continua, semplice, chiusa. Circuiti. Teorema di Jordan. Interno ed esterno di un circuito. Orientazione di una curva, cammino opposto. Aperti connessi semplicemente connessi. Derivata di una curva. Arco di curva regolare e regolare a tratti. Calcolo della sua lunghezza. Integrale di una funzione complessa di variabile reale, teorema fondamentale del calcolo. Integrale di una funzione complessa di variabile reale: definizione e teorema fondamentale del calcolo integrale in questo caso.

Generalita' sull'integrale di linea nel campo complesso. Definizione di integrale curvilineo nel campo complesso e confronto con gli integrali di linea di prima e seconda specie nel piano. Esempi di calcolo di integrali di linea in base alla definizione. Proprieta' elementari dell'integrale di linea: linearita', additivita', invarianza per cambio di parametrizzazione, segno e orientazione, maggorazione del modulo (*); approssimazione uniforme dell'integranda; approssimazione C1 della curva. Primitiva di una funzione in un aperto, teorema fondamentale del calcolo integrale e integrale su un circuito (*).

Teoremi integrali di Cauchy e regolarita' delle funzioni olomorfe. Teorema di Cauchy dell'integrale nullo (*).  Conseguenza del teorema di Cauchy: integrali di una funzione olomorfa su circuiti equivalenti (in un dominio non semplicemente connesso) (*). Prima formula integrale di Cauchy (*).

Teorema di regolarita' delle funzioni olomorfe (*). Seconda formula integrale di Cauchy (per le derivate), e sua estensione a cammini diversi da circonferenze (*). Esempi di calcolo di integrali di linea nel campo complesso utilizzando le formule integrali di Cauchy.

Proprieta' delle funzioni olomorfe. Principio di annullamento di una funzione olomorfa (*), principio di identita' delle funzioni olomorfe (*), unicita' dell'estensione al campo complesso delle trascendenti elementari reali (*).

Applicazioni alle funzioni armoniche. Parte reale e immaginaria di una funzione olomorfa (a priori solo C1) sono armoniche (*); una funzione C2(A) armonica in A e' infinitamente derivabile (*). Applicazione del principio di identità delle funzioni analitiche al riconoscimento della funzione olomorfa che si ottiene costruendo l'armonica coniugata di una funzione armonica assegnata.

Riferimenti bibliografici: dispensa integrativa par. 4, con rimandi al libro di testo (par. 6.5.1, 6.5.2, 6.5.4).

Fuori programma (lettura consigliata): Deduzione, a partire dalla prima formula integrale di Cauchy, della formula integrale di Poisson per la soluzione del problema di Dirichlet per il laplaciano sul cerchio. Teorema del valor medio per funzioni olomorfe e per funzioni armoniche. Riferimenti bibliografici: par. 6.5.3.2


5. Punti singolari di una funzione olomorfa, teorema dei residui e applicazioni.

Definizione di singolarita' isolata e non isolata di una funzione olomorfa, singolarita' eliminabile, polo di ordine n, singolarita' essenziali. Esempi. Teorema sul comportamento di una funzione in un intorno di una singolarità eliminabile (prolungabilità olomorfa di f(z)) o di un polo di ordine n (prolungabilità olomorfa di (z-a)nf(z)). 

Definizione di residuo di una funzione in una singolarita' isolata. Teorema dei residui (*). Varie formule di calcolo del residuo in una singolarità eliminabile (*), un polo, del prim'ordine (*) o di ordine n (*). Una funzione pari ha residuo nell'origine nullo (*). Esempi di studio delle singolarita' di una funzione olomorfa. Calcolo di integrali con metodi dei residui: integrali nel campo complesso; integrali nel campo reale di funzioni razionali (*); integrali di tipo "trasformata di Fourier" (*), cioe': funzione razionale moltiplicata per un esponenziale complesso, o una funzione trigonometrica, o entrambe. Lemma del grande cerchio (*).

Riferimenti bibliografici: dispensa integrativa par. 5, con rimandi al libro di testo (6.6.2, 6.6.3, 6.6.4, 6.7.1, 6.7.2.1, 6.7.2.2).

Seconda parte del programma

Parte 3. Integrale di Lebesgue. Spazi di funzioni integrabili

Motivazioni per introdurre l'integrale di Lebesgue. Definizione di sigma algebra, esempi, proprieta' delle sigma algebre. Definizione di misura, esempi, proprieta' delle misure. Teorema di esistenza della misura di Lebesgue e sue proprieta'. Insiemi di misura nulla e misure complete. Esempi di insiemi di misura nulla in R e R2. Funzioni misurabili, loro proprieta'; funzioni semplici, loro integrale. Approssimazione di funzioni misurabili e positive con una successione monotona di funzioni semplici. Definizione di integrale di Lebesgue per funzioni positive e per funzioni di segno qualsiasi o a valori complessi, in Rn o in un sottoinsieme misurabile. Proprieta' dell'integrale di Lebesgue: proprieta' elementari (linearita', monotonia, proprieta' di annullamento). Lo spazio vettoriale L1(A), necessita' di passare all'insieme (quoziente) delle classi di equivalenza L1(A) di funzioni uguali q.o. per avere uno spazio vettoriale normato. Numerabile additivita' dell'integrale, misure con peso, integrale rispetto a misure con peso.

Caratterizzazione delle funzioni Riemann-integrabili mediante la misura (di Lebesgue) dell'insieme dei punti di discontinuità. Relazione tra integrale di Lebesgue e integrale di Riemann o integrale di Riemann generalizzato.

Integrazione per successioni: teorema di convergenza dominata. Completezza degli spazi L1.

Integrali dipendenti da un parametro: teorema sulla continuita' (*) e sulla derivazione sotto il segno di integrale (*). Esempi.

Spazi Lp per p>1. disuguaglianza di Minkowsky. Completezza degli spazi Lp. Spazio L infinito: concetto di funzione essenzialmente limitata, norma L infinito. Completezza di L infinito. Esponenti coniugati e disuguaglianza di Holder. In particolare, disuguaglianza di Schwartz in L2. Inclusioni fra gli spazi Lp quando il dominio ha misura finita (*), estensione al caso L infinito della disuguaglianza di Holder e dell'inclusione tra spaziL p quando il dominio ha misura finita (*).

Integrali doppi, teorema di Fubini-Tonelli. Convoluzione in R o Rn. Convoluzione tra 2 funzioni L1(Rn) (*) o tra una L1(Rn) e una Lp(Rn).

Riferimenti bibliografici:  Cap.2. Scaricare: complementi sulla cardinalita' degli insiemi; slides sulle somme di Riemann e di Lebesgue.

Generalita' sugli operatori lineari continui tra spazi vettoriali normati. Operatori lineari tra spazi vettoriali normati. Definizione di operatore lineare continuo mediante 3 proprieta' equivalenti; definizione di norma dell'operatore. Esempi di classi di operatori lineari continui tra spazi vettoriali normati: operatori differenziali, operatori integrali di convoluzione. Esempio di operatore lineare non continuo su uno spazio vettoriale normato. Spazio L(X,Y).

Riferimenti bibliografici: Cap.3, par. 3.1.

Parte 4. Spazi di Hilbert, funzioni speciali e applicazioni

1. Geometria negli spazi di Hilbert

Spazi vettoriali con prodotto interno: definizione, esempi; disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, norma indotta dal prodotto scalare, uguaglianza del parallelogramma; caratterizzazione delle norma Hilbertiane. Continuita' della norma e del prodotto scalare (*). Ortogonalita' tra due vettori, teorema di Pitagora (caso finito) (*).

Spazi di Hilbert: definizione, esempi, teorema di Pitagora (caso infinito) (*). Sistemi ortonormali finiti o numerabili; ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Esempi del procedimento di ortonormalizzazione: costruzione dei primi polinomi di Legendre, Laguerre, Hermite, mediante ortonormalizzazione delle prime potenze 1, x, x2,... in opportuni spazi L2. (*). Teorema della proiezione su un sottospazio finito dimensionale (dotato di una base ortonormale) di uno spazio di Hilbert (*) e suo significato in termini di approssimazione. Esempi. Disuguaglianza di Bessel (*) e convergenza delle serie di Fourier (a una funzione per ora imprecisata). (*). Definizione di sistema ortonormale completo. Teorema sulla serie e trasformata di Fourier in uno spazio di Hilbert, rispetto a un s.o.n.c.: convergenza delle serie di Fourier alla funzione di partenza, isometria lineare tra H e l2 (*). Cenni alle applicazioni all'analisi di Fourier classica: convergenza L2 delle serie di Fourier in una o n variabili, s.o.n.c. trigonometrico in L2[0,T] in forma di esponenziali complessi.

Riferimenti bibliografici: Cap.4, par. 4.1-4.5. 

2. Problemi di Sturm-Liouville e polinomi ortogonali

Problemi di Sturm-Liouville regolari. Definizione di problema di Sturm-Liouville regolare. Proprieta' di autofunzioni e autovalori. Dimostrazione della positivita' degli autovalori e dell'ortogonalita' di autofunzioni relative a autovalori distinti. (*).

Problemi di Sturm-Liouville singolari notevoli e polinomi ortogonali:
a. L'equazione di Legendre. L'equazione di Legendre come problema di Sturm-Liouville singolare, verifica di positivita' degli autovalori e ortogonalita' delle autofunzioni (*). Polinomi di Legendre, loro utilizzo per l'approssimazione di funzioni in L2(-1,1) mediante polinomi.
b. L'equazione di Laguerre. L'equazione di Laguerre come problema di Sturm-Liouville singolare, verifica di positivita' degli autovalori e ortogonalita' delle autofunzioni (*). Polinomi di Laguerre. Funzioni di Laguerre.
c. Equazione di Hermite. L'equazione di Hermite come problema di Sturm-Liouville singolare, verifica di positivita' degli autovalori e ortogonalita' delle autofunzioni (*). Polinomi e funzioni di Hermite.

Riferimenti bibliografici: par. 4.6-4.7. Il Cap. 5 è un approfondimento fuori programma.

Parte 5. Trasformate integrali e applicazioni

1. La trasformata di Fourier in Rn.

Teoria L1 della trasformata di Fourier. Generalita' sulla trasformata di Fourier in Rn: motivazione, definizione, trasformata come operatore lineare continuo da L1(Rn) a Cb(Rn) (*), trasformata della derivata (*), derivata della trasformata (*), trasformata della convoluzione (*), la trasformata di una funzione tende a zero all'infinito; trasformata e dilatazioni (*), calcolo di trasformate notevoli: Gaussiana in una e n variabili. (*). Calcolo di trasformate di Fourier con metodi di analisi complessa. Teorema di inversione per la trasformata di Fourier, conseguenza: due funzioni con la stessa trasformata coincidono (*). Condizione necessaria perché una funzione f  L1 abbia trasformata L1 è che f sia continua (*). Trasformata e moltiplicazione per esponenziale complesso o per funzioni seno o coseno (*);

Riferimenti bibliografici: Cap.3; par. 7.1, par. 7.2, par. 7.3.1.

Teoria L2 della trasformata di Fourier. La classe S di Schwartz delle funzioni a decrescenza rapida: definizione; la classe è chiusa per moltiplicazione per potenze e per derivazione; è chiusa rispetto alla trasformata di Fourier (*); proprieta' della trasformata di Fourier sullo spazio S (*): formula di antitrasformazione, conservazione di prodotto scalare e norma di L2. Utilizzo delle proprieta' della trasformata su S per definire la trasformata di Fourier di funzioni L2 (*). La trasformata di Fourier e' un'isometria lineare di L2 su se stesso. Calcolo esplicito della trasformata di una funzione L2 ma non integrabile mediante limite della trasformata delle troncate.

Riferimenti bibliografici: par. 7.4.

2. La trasformata di Laplace

Definizione e prime proprieta'. Definizione di funzione L-trasformabile, ascissa di convergenza, semipiano di convergenza, trasformata di Laplace. Linearita' della trasformata. Relazione fra trasformata di Laplace e trasformata di Fourier (*), e conseguenza: due funzioni con la stessa trasformata di Laplace coincidono (*). Calcolo della trasformate di funzioni elementari (*): costanti, potenze, esponenziali, trigonometriche e loro prodotti. Esempio di funzione non L-trasformabile.

Proprieta' della L-trasformata di una funzione: La trasformata di Laplace di una funzione L-trasformabile e' limitata in ogni semipiano contenuto nel semipiano di convergenza, tende a zero all'infinito, e' olomorfa nel semipiano di convergenza, e vale la formula per le derivate della trasformata.

Proprieta' operatoriali della trasformata: Convoluzione di due funzioni nulle per t<0 e localmente integrabili. Trasformata della convoluzione (*). Trasformata della primitiva (*); trasformata della derivata (prima, seconda, n-esima) (*); velocita' di convergenza a zero della L-trasformata (*); formula dell's-shift (*);

Inversione della trasformata di Laplace.  Metodi elementari basati sull'uso a ritroso delle tabelle di trasformate e proprieta' operatoriali.

Applicazioni della trasformata di Laplace.
a. Problema di Cauchy per equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, non omogenee, del second'ordine: procedimento generale di soluzione mediante la trasformata di Laplace, formula risolutiva mediante convoluzione.
b. Discussione dei circuiti elettrici LCR in serie con tensione applicata eventualmente discontinua: equazione integrodifferenziale o integrale corrispondente, soluzione mediante trasformata di Laplace, discussione del grado di regolarita' della soluzione in dipendenza a quello del dato. I casi particolari dei circuiti LR, LC, RC.
c. Definizione di equazione integrale di Volterra di prima o seconda specie, di convoluzione o generale; risoluzione delle equazioni di seconda specie di convoluzione.

Riferimenti bibliografici: Cap. 8.