2.7. Calcolo infinitesimale per funzioni di una variabile

2.7.1.    Calcolo dei limiti
2.7.2.    Calcolo delle derivate
2.7.3.    Formula di Taylor
2.7.4.    Calcolo delle primitive
2.7.5.    Calcolo degli integrali definiti, esatto o approssimato
2.7.6.    Integrali generalizzati
2.7.7.    Funzioni integrali
2.7.8.    Equazioni differenziali
2.7.9.    Serie di Fourier

2.7.1. Calcolo dei limiti

I prossimi esempi mostrano la sintassi:

[Graphics:Images/math27_gr_1.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_2.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_3.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_4.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_5.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_6.gif]

(La freccia si ottiene digitando - seguito da >). Se il limite destro e sinistro sono diversi, Mathematica per default calcola il limite destro (questa è una caratteristica non molto bella del programma! Se si trova un risultato non si sa se il limite c'è o c'è solo da destra):

[Graphics:Images/math27_gr_7.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_8.gif]

Per chiedere esplicitamente a Mathematica di calcolare un limite destro o sinistro usiamo l'opzione Direction->1 per il limite sinistro, Direction->-1 per il limite destro:

[Graphics:Images/math27_gr_9.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_10.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_11.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_12.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_13.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_14.gif]

Se si prova a calcolare un limite che non esiste, cosa succede?

[Graphics:Images/math27_gr_15.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_16.gif]

L'output significa che il limite non esiste e la "classe limite" è l'intervallo [-1,1].

[Graphics:Images/math27_gr_17.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_18.gif]

L'output significa che il limite non esiste e la "classe limite" è l'intervallo (-Infinito,Infinito).

2.7.2. Calcolo delle derivate

La sintassi per il calcolo della derivata prima di una funzione è:

[Graphics:Images/math27_gr_19.gif]

Esempio:

[Graphics:Images/math27_gr_20.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_21.gif]

A questo punto per calcolare la derivata seconda, cioè la derivata prima di quanto appena trovato, si può fare così:

[Graphics:Images/math27_gr_22.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_23.gif]

Oppure:

[Graphics:Images/math27_gr_24.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_25.gif]

2.7.3. Formula di Taylor

Per scrivere la formula di Taylor di F[x] all'ordine n, centrata in x0, il comando è:

[Graphics:Images/math27_gr_26.gif]

Notare che, non ostante il comando si chiami Series, serve a scrivere la formula di Taylor, non la serie di Taylor.
Inoltre, notare che il resto (secondo Peano) è scritto in modo insolito: al posto del simbolo di o piccolo viene usato il simbolo di O grande. In pratica, ciò significa che se Mathematica scrive O[x]^4 bisogna interpretare o[x]^3, e così via.

[Graphics:Images/math27_gr_27.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_28.gif]

Qui O[x]^10=o[x]^9

[Graphics:Images/math27_gr_29.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_30.gif]

Se si vuole solo il polinomio di Taylor, anziché la formula di Taylor, il comando è

[Graphics:Images/math27_gr_31.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_32.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_33.gif]

2.7.4. Calcolo delle primitive

La sintassi per il calcolo di una primitiva di una funzione è:

[Graphics:Images/math27_gr_34.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_35.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_36.gif]

(Notare che Mathematica non aggiunge la costante arbitraria). Naturalmente se la primitiva non è una funzione elementare, Mathematica non trova nulla:

[Graphics:Images/math27_gr_37.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_38.gif]

che è come dire che Mathematica non ha fatto nulla.

Talvolta la primitiva di una funzione è una funzione non elementare che però in Analisi ha un nome ed è studiata; se Mathematica la conosce, fornisce questo risultato. Ad esempio:

[Graphics:Images/math27_gr_39.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_40.gif]

[Graphics:Images/math27_gr_41.gif]

[Graphics:Images/math27_gr_42.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_43.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_44.gif]

[Graphics:Images/math27_gr_45.gif]

[Graphics:Images/math27_gr_46.gif]

2.7.5. Calcolo degli integrali definiti, esatto ed approssimato

La sintassi per calcolare l'integrale definito di F sull'intervallo [a,b] è:

[Graphics:Images/math27_gr_47.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_48.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_49.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_50.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_51.gif]

Talvolta, come nell'ultimo caso, l'output è infelice: qui ad esempio è espresso attraverso numeri complessi (anche se in realtà è reale). Comunque possiamo sempre chiedergli quanto fa:

[Graphics:Images/math27_gr_52.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_53.gif]

cioè è un numero reale, circa 0.851...

Il comando Integrate cerca di calcolare un integrale definito in modo esatto, passando attraverso la primitiva (o con altri metodi esatti): se si prova a calcolare l'integrale definito di una funzione che non ha primitiva conosciuta, Mathematica non calcola nulla:

[Graphics:Images/math27_gr_54.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_55.gif]

C'è una strada diversa: calcolare un valore approssimato dell'integrale definito, coi metodi dell'analisi numerica. Questo si fa con un comando diverso:

[Graphics:Images/math27_gr_56.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_57.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_58.gif]

Si confronti il risultato trovato con Integrate e NIntegrate in un caso in cui entrambi i metodi sono applicabili:

[Graphics:Images/math27_gr_59.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_60.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_61.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_62.gif]

Si osservi che:

[Graphics:Images/math27_gr_63.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_64.gif]

cioè il valore "approssimato" è approssimato davvero bene.

2.7.6. Integrali generalizzati

Si possono calcolare integrali definiti generalizzati:

[Graphics:Images/math27_gr_65.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_66.gif]

L'integrale precedente converge ed è calcolabile esattamente.

[Graphics:Images/math27_gr_67.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_68.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_69.gif]

L'integrale precedente diverge.

[Graphics:Images/math27_gr_70.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_71.gif]

L'integrale precedente converge ed è calcolabile esattamente.

[Graphics:Images/math27_gr_72.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_73.gif]

Questa è una tipica risposta "da Mathematica": ha calcolato il valore esatto dell'integrale, esprimendolo con complicate funzioni. Quanto vale?

[Graphics:Images/math27_gr_74.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_75.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_76.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_77.gif]

Questa volta non ce l'ha fatta. Se però gli chiediamo di calcolare l'integrale numericamente:

[Graphics:Images/math27_gr_78.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_79.gif]

si capisce che l'integrale converge. Se si provasse a calcolare numericamente un integrale divergente:

[Graphics:Images/math27_gr_80.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_81.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_82.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_83.gif]

Il messaggio di Mathematica mette in guardia sul fatto che la convergenza dell'algoritmo di approssimazione è lenta, il che deve far sospettare che l'integrale possa divergere. L'output è comunque un valore numerico (in questo caso inattendibile).

2.7.7. Funzioni integrali

Una funzione integrale di F[x] è una funzione del tipo:

[Graphics:Images/math27_gr_84.gif]

(Attenzione all'uso corretto della variabile muta t, di integrazione).

Proviamo a definire, ad esempio:

[Graphics:Images/math27_gr_85.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_86.gif]

La primitiva qui è calcolabile esattamente e la funzione integrale è calcolata esplicitamente.

[Graphics:Images/math27_gr_87.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_88.gif]

Ovviamente, non riesce a fare nulla in questo caso. Se proviamo a valutare:

[Graphics:Images/math27_gr_89.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_90.gif]

non troviamo niente.

In questi casi (quando cioè la primitiva non è calcolabile elementarmente, e non è nemmeno una funzione speciale, conosciuta da  Mathematica), conviene definire la funzione integrale come integrale calcolato numericamente, cioè porre:

[Graphics:Images/math27_gr_91.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_92.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_93.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_94.gif]

Mathematica ha protestato, perché gli abbiamo chiesto di calcolare numericamente l'integrale definito tra due estremi di cui il secondo non è un numero, ma è x! Ovviamente non può farlo; però ora Mathematica sa chi è H[x] e può calcolarla in un punto, o anche tracciarne il grafico:

[Graphics:Images/math27_gr_95.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_96.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_97.gif]

[Graphics:Images/math27_gr_98.gif]

[Graphics:Images/math27_gr_99.gif]

Nota: il grafico di una funzione integrale è un esempio di operazione che può risultare "impegnativa" per un vecchio PC, come accennato all'inizio. Nel dubbio, meglio salvare prima di premere shift+invio.

2.7.8. Equazioni differenziali

Mathematica può risolvere le equazioni differenziali (ed anche i problemi di Cauchy) che noi sapremmo risolvere a mano, con carta e penna. Ma ci mette molto meno.

La sintassi con cui si scrive un'equazione differenziale è illustrata dall'esempio seguente:

[Graphics:Images/math27_gr_100.gif]

Notare che la funzione incognita va sempre scritta nella forma y[x] (cioè indicando la variabile indipendente, che potrebbe anche non chiamarsi x), le derivate si indicano con y'[x], y''[x], y'''[x],..., e tra i due membri dell'equazione ci vogliono DUE segni di =. Per la derivata seconda, usare due segni ' di fila, e NON il segno di virgolette ".

La sintassi con cui si chiede a Mathematica di risolvere un'equazione differenziale è:

[Graphics:Images/math27_gr_101.gif]

Esempi.

Equazione del second'ordine, lineare, a coefficienti costanti, anche non omogenea:

[Graphics:Images/math27_gr_102.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_103.gif]

Come si vede, Mathematica dà l'integrale generale, chiamando C[1] e C[2] le costanti arbitrarie di integrazione.

Equazione del prim'ordine, lineare:

[Graphics:Images/math27_gr_104.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_105.gif]

Equazione del prim'ordine a variabili separabili:

[Graphics:Images/math27_gr_106.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_107.gif]

Problema di Cauchy:

La sintassi è:

[Graphics:Images/math27_gr_108.gif]

dove le condizioni sono scritte con la  stessa sintassi dell'equazione:

[Graphics:Images/math27_gr_109.gif]
[Graphics:Images/math27_gr_110.gif]

2.7.9. Serie di Fourier

Non esistono comandi appositi per scrivere la serie di Fourie di una funzione: si tratta di combinare le varie tecniche viste fin qui: si definiscono le due successioni dei coefficienti, come opportuni integrali (esatti o approssimati? Dipende!), poi si definisce la successione delle somme parziali della serie di Fourier, quindi si può plottare questa per certi n...
Si veda il Notebook apposito.


Converted by Mathematica      October 9, 2000