Programma provvisorio dettagliato di  Analisi Matematica 2
Ingegneria Elettronica, 10 crediti.
Politecnico di Milano
A.A. 2024/2025.  Prof. M. Bramanti

Riferimenti bibliografici: per ogni paragrafo è indicato il riferimento al libro di testo:
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi matematica 2. Ed. Zanichelli, Bologna, 2009
oppure all'eserciziario:
M. Bramanti: Esercitazioni di Analisi 2. Ed. Esculapio, Bologna, 2012. 

La suddivisione in prima e seconda parte del corso riguarda la prova scritta (prima e seconda prova in itinere). La prova orale riguarda l'intero programma (prima e seconda parte). Sono richieste le dimostrazioni dei fatti contrassegnati con (*).

Prima parte del corso

1. Equazioni differenziali ordinarie

Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: esempi di modelli differenziali, definizione di: equazione differenziale di ordine n, equazione in forma normale, soluzione, integrale generale, condizioni iniziali, problema di Cauchy, soluzione del problema di Cauchy.

Equazioni del prim'ordine a variabili separabili. Procedimento per trovare l'integrale generale. Teorema di esistenza e teorema di esistenza e unicità, in piccolo, per la soluzione del problema di Cauchy per queste equazioni. Intervallo massimale di definizione della soluzione. Esempi.

Generalità sulle equazioni differenziali lineari (di qualsiasi ordine). Gli spazi di funzioni Ck. Concetto di operatore differenziale lineare di ordine k, a coefficienti continui. Teorema di struttura dell'integrale generale per le equazioni lineari di ordine qualsiasi (*).

Equazioni del prim'ordine lineari.  Procedimento per trovare l'integrale generale delle equazioni del prim'ordine (*). Teorema di esistenza e unicità in grande della soluzione del problema di Cauchy per queste equazioni (*). Esempi.

Discussione di alcuni modelli differenziali di particolare interesse fisico: modelli di crescita delle popolazioni (di Malthus, di Verhulst); caduta dei gravi con attrito dell'aria.

Equazioni del second'ordine.  Equazioni del second'ordine lineari a coefficienti continui. Struttura dell'integrale generale: relazione tra integrale generale dell'equazione completa e dell'equazione omogenea (*); l'insieme delle soluzioni dell'equazione omogenea è uno spazio vettoriale di dimensione 2. Teorema di esistenza e unicità in grande per il problema di Cauchy. Ricerca dell'integrale generale per le equazioni omogenee a coefficienti costanti col metodo degli esponenziali reali o complessi (riscrivendo l'integrale generale in forma reale) (*).

Ricerca di una soluzione particolare dell'equazione completa mediante il "metodo di somiglianza": discussione di alcuni casi (*): polinomio, esponenziali, funzioni trigonometriche, o prodotto di due di questi 3 tipi di funzioni. Utilizzo dell'esponenziale complesso per questi calcoli.

Discussione di alcuni modelli differenziali di particolare interesse fisico: oscillazioni libere, smorzate, forzate, smorzate e forzate, sia in sistemi meccanici che in circuiti elettrici; regime transitorio e regime permanente; fenomeno della risonanza: sua discussione dettagliata nel caso delle vibrazioni forzate (con forzante sinusoidale) ed eventualmente smorzate, sia nel caso meccanico che in quello dei circuiti elettrici LCR.

Riferimento bibliografico: Libro di testo, cap.1, §§ 1, 2, 3. Eserciziario, cap.1, §1.1, 1.2.A, B, C, E.

Didattica innovativa: alcuni argomenti del paragrafo "Equazioni del second'ordine" sono coperti mediante il MOOC, come spiegato a questa pagina. E' caldamente consigliata la visione attenta di queste lezioni, anche per lo studente che non frequenta il corso. (Il programma d'esame, comunque, consiste di quello che è indicato qui, non di tutto ciò che è presente nei video).

Approfondimenti e altre letture consigliate (**):
Sul teorema di esistenza e unicità per le equazioni a variabili separabili: Libro di testo, cap.1, § 4.1

2. Calcolo infinitesimale per le curve

Lo spazio Rm; richiami di calcolo vettoriale. Limiti e continuità per funzioni vettoriali di variabile reale. I limiti si fanno componente per componente. Continuita' di una funzione a valori vettoriali, la continuita' si studia componente per componente.

Curve in forma parametrica: interpretazione geometrica e cinematica. Sostegno. Arco di curva continua; curva chiusa; curva semplice; orientazione; esempi di curve notevoli in forma parametrica: circonferenza, ellisse, iperbole, elica cilindrica, elica conica, rette, semirette, segmenti.

Derivabilità di una funzione a valori vettoriali. La derivata si calcola componente per componente. Vettore velocità, versore tangente, velocità scalare, vettore accelerazione. Regole del calcolo differenziale vettoriale (*). Ortogonalità di velocità e accelerazione per un punto mobile con velocità scalare costante (*).

Arco di curva regolare e regolare a tratti. Esempio: astroide. Curve piane in forma polare; esempi: spirali di Archimede, spirale logaritmica, coniche in forma polare. Curve grafico di funzione. Espressione della velocità istantanea scalare per le curve grafico di funzione e per quelle espresse in forma polare (*).

Definizione di curva rettificabile e di lunghezza di un arco di curva. Teorema di rettificabilità delle curve regolari a tratti e formula integrale per il calcolo della lunghezza. Deduzione dalla formula precedente della formula di calcolo della lunghezza di una curva assegnata in forma polare (*) e della  lunghezza di una curva grafico di funzione (*). Esempio di curva non rettificabile, di curva rettificabile ma non regolare a tratti, di curva regolare a tratti ma non regolare. Cambiamento regolare di parametrizzazione e cambiamento di orientazione; invarianza della lunghezza per cambio di parametrizzazione e orientazione; parametro arco: definizione, esempi. Proprietà di una curva parametrizzata rispetto al parametro arco: il vettore derivato è il versore tangente (*).

Integrali di linea (di prima specie): definizione e sua motivazione. Invarianza per cambiamento regolare di parametrizzazione e per cambiamento di orientazione. Applicazioni fisiche: calcolo di masse, baricentri, momenti d'inerzia di linee materiali.

Riferimento bibliografico: Libro di testo, cap. 2, §§ 1, 2, 3, 4, 5. Eserciziario, Cap.2, §2.1, 2.2.
Approfondimenti e altre letture consigliate (**):
Un'applicazione fisica del calcolo differenziale vettoriale: deduzione delle leggi di Keplero dalle leggi di Newton: Eserciziario, cap.2, §2.3. [Fuori programma]

3. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali

Generalità sulle funzioni di più variabili. Grafico, linee o superfici di livello, esempi notevoli di funzioni di due variabili: piano, paraboloide ellittico e iperbolico, cono, semisfera.

Limiti e continuità. Definizione di limite finito al finito e funzione continua per funzioni di più variabili. I teoremi su limiti e continuità, la continuità delle funzioni elementari e il suo utilizzo per provare la continuità di funzioni composte. Teorema di permanenza del segno per funzioni continue. Calcolo di limiti in più variabili che coinvolgono forme di indeterminazione: il metodo delle restrizioni per provare la non esistenza del limite o per individuare il candidato limite; il metodo delle maggiorazioni mediante funzioni radiali per provare l'esistenza del limite; il metodo del teorema del confronto; tecniche di maggiorazione. Casi particolari: limite di funzioni radiali nell'origine; funzioni positivamente omogenee; esistenza o non esistenza del limite nell'origine di funzioni positivamente omogenee (*).

Topologia e proprietà delle funzioni continue. Topologia in Rn: intorni sferici; punti interni, esterni, di frontiera di un insieme; insiemi aperti, chiusi; unione e intersezione finita di aperti (o chiusi) è aperta (chiusa). Insiemi aperti o chiusi definiti da equazioni o disequazioni che coinvolgono funzioni continue (*). Insiemi limitati, insiemi connessi. Interno, frontiera, chiusura di un insieme. Teorema di Weierstrass per funzioni continue reali di più variabili. Teorema degli zeri (*) per funzioni continue reali di più variabili; applicazione allo studio del segno di una funzione continua e alla determinazione grafica di sottoinsiemi del piano definiti da sistemi di disequazioni.

Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili. Derivate parziali per funzioni di 2 o n variabili, osservazioni per il calcolo effettivo; definizione di funzione derivabile, vettore gradiente. Definizione di differenziabilità, differenziale, piano tangente. La differenziabilità implica la derivabilità e la continuità (*), mentre non vale il viceversa (esempi). Condizione sufficiente per la differenziabilità (*) (mediante continuità delle derivate). Lo spazio C1(A). Contresempi di funzioni: continue ma non derivabili, derivabili ma non continue, continue e derivabili ma non differenziabili, differenziabili ma non C1. Criteri per la differenziabilità di funzioni funzioni positivamente omogenee (*). Criterio per la differenziabilità di funzioni radiali. Derivate direzionali: definizione, teorma sulla formula del gradiente (*). Gradiente come direzione di massima pendenza (*). Teorema sulla differenziabilità di funzioni composte; applicazioni: gradiente di funzioni radiali (*); ortogonalità del gradiente alle linee di livello (*).

Derivate successive. Derivate parziali seconde; Teorema di Schwarz. Omogeneità delle derivate parziali di una funzione positivamente omogenea (e derivabile) (*). Esempio in cui le derivate miste non sono uguali. Matrice Hessiana. Cenni alle equazioni alle derivate parziali: equazione di Laplace, equazione di diffusione, equazione delle onde, e qualche loro interpretazione fisica. Formula di Taylor al second'ordine con resto secondo Lagrange (*) e secondo Peano (*). Differenziale secondo.

Ottimizzazione libera: definizione di minimo e punto di minimo, locale e globale, per funzioni di più variabili; teorema di Fermat (*). Definizione di punto stazionario. Definizione di punto di sella. Studio della natura dei punti stazionari mediante lo sviluppo di Taylor al second'ordine con resto secondo Peano. Forme quadratiche (f.q.) in n variabili: definizione di f.q. e di segno della f.q. Proprietà di uniforme positività (negatività) delle f.q. definite (*). Teorema sulla relazione tra natura di un punto stazionario e segno della f.q. differenziale secondo in dimensione n qualsiasi (*). Criteri di  riconoscimento del segno di una f.q. mediante la matrice, nel caso di due variabili (*). Conseguenza: studio della natura dei punti stazionari per funzioni di 2 varibili, mediante determinante e traccia della matrice hessiana. (*). Studio di punti stazionari nel caso in cui il test dell'hessiana è dubbio: tecnica delle restrizioni per provare che un punto è di sella; studio diretto del segno dell'incremento per provare che un punto è di massimo, minimo o sella.

Riferimento bibliografico: Libro di testo, cap. 3, §§ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9.2. Eserciziario, cap.3, § 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6. Scaricare il complemento: Stima uniforme per forme quadratiche definite.

Funzioni definite implicitamente. Definizione di funzione (di una variabile) definita implicitamente da un'equazione f(x,y)=0; esempi e contresempi, teorema di Dini (nelle tre versioni, y=g(x), x=h(y), oppure esplicitando l'implicita sotto forma di curva: x=x(t), y=y(t)). Applicazione alla regolarità delle linee di livello. Calcolo delle derivate successive dell'implicita. Funzione implicita in n variabili: definizione, teorema di Dini per funzioni di più variabili.

Ottimizzazione vincolata mediante un solo vincolo di uguaglianza. Introduzione al problema: definizione di punto di massimo o minimo vincolato per una funzione di due variabili, con vincolo di uguaglianza in due variabili. Il caso del vincolo esplicitabile (in forma di funzione di una variabile o in forma di curva parametrica). Il caso di un solo vincolo non esplicitabile; teorema del moltiplicatore di Lagrange (*). Esempi.

Riferimento bibliografico: Libro di testo, cap. 3, § 8.1; cap. 4, § 6.1. Eserciziario, cap. 3, § 3.7, 3.8.

Seconda parte del corso

Elementi di calcolo differenziale per funzioni di piu' variabili a valori vettoriali. Limiti, continuita', differenziabilita' per funzioni da Rn a Rm: definizione, calcolo componente per componente, condizioni sufficienti per la differenziabilita', matrici jacobiane; teorema sul  differenziale della funzione composta.

Trasformazioni di coordinate: definizione di funzione da Rn a Rn invertibile; teorema di invertibilita' locale; osservazioni e contresempi sulla relazione tra invertibilita' locale e globale in più variabili (differenza col caso n=1); definizione di diffeomorfismo locale e globale, esempio di diffeomorfismo locale non globale. Definizione di trasformazione regolare di coordinate; punti singolari di una trasformazione; coordinate polari, cilindriche, sferiche; calcolo esplicito della matrice jacobiana e del suo determinante in questi casi (*). Esempi di trasformazione di un operatore differenziale mediante trasformazione regolare di coordinate. Metodo di D'Alembert per determinare l'integrale generale dell'equazione della corda vibrante illimitata (*). 

Superfici regolari in forma parametrica. Definizione di superficie regolare in forma parametrica, linee coordinate, punti singolari di una superficie, versore normale, piano tangente, elemento d'area, orientazione. Superfici grafico di una funzione di due variabili: scrittura della matrice jacobiana (*), versore normale (*), elemento d'area (*); superfici di rotazione: scrittura esplicita delle equazioni di una superficie di rotazione a partire dalle equazioni di una curva e verifica della sua regolarita' (*); calcolo del versore normale (*), elemento d'area (*); esempi notevoli: sfera, cono, cilindro, toro, ellissoide.

Riferimento bibliografico: Libro di testo, cap. 4, §§ 1, 2, 3, 5 (in particolare, Esempio 5.3). Esericiziario, cap. 4.

4. Calcolo integrale per funzioni di più variabili

Integrali doppi. Concetti fondamentali. Definizione di integrale doppio per una funzione di due variabili, limitata, su un rettangolo. Esempio di funzione non integrabile su un rettangolo. Integrabilità delle funzioni continue su un rettangolo. Teorema di riduzione per funzioni continue su un rettangolo (*). Esempi. Definizione di integrale doppio per una funzione definita su un insieme limitato qualsiasi di Rn. Esempio di una funzione continua non integrabile su un dominio non rettangolare. Insiemi misurabili, area di un insieme, insiemi di misura nulla; esempio di insieme non misurabile. Funzioni definite su un rettangolo e continue salvo un insieme di misura nulla: loro integrabilità, validità della formula di riduzione. Definizione di dominio semplice, regolare, nel piano. Il bordo di un dominio regolare ha misura nulla. Integrabilità delle funzioni limitate e continue su un rettangolo salvo un insieme di misura nulla. Misurabilità dei domini regolari. Proprietà elementari dell'integrale doppio per funzioni integrabili qualsiasi: linearità, additività rispetto al dominio, positività e monotonia, proprietà di annullamento. Proprietà elementari dell'integrale doppio per funzioni continue: varie proprietà di annullamento, teorema della media. 

Il calcolo degli integrali doppi. Teorema di riduzione dell'integrale doppio di una funzione continua su un insieme semplice mediante integrale iterato (*). Esempi di calcolo di integrali iterati, osservazioni sull'utilizzo di eventuali simmetrie. Calcolo di aree, baricentri e momenti d'inerzia di lamine piane. Cambiamento di variabili negli integrali doppi: formula dello jacobiano, calcolo di integrali in coordinate polari o simili.

Integrali doppi generalizzati, esempi. L'integrale notevole della gaussiana (*).

Sopra questa linea: programma già svolto

Sotto questa linea: programma ancora da svolgere

Il calcolo degli integrali tripli. Calcolo mediante integrale iterato:  integrazione per fili o per strati; cambi di variabili (cilindriche, sferiche...). Definizione e calcolo di volumi, baricentri, momenti d'inerzia. Esempi di questi calcoli su solidi notevoli: sfera, semisfera, cono, cilindro, toro.

Riferimento bibliografico: Libro di testo, cap. 5, §§ 1, 2, 3. Eserciziario, cap. 5.

5. Campi vettoriali e calcolo integrale vettoriale

Gli operatori rotore e divergenza. Definizione di rotore di un campo vettoriale tridimensionale. Rotore di un campo bidimensionale. Esempio sul significato fisico: rotore di un campo di velocità rotatorio piano. rot grad=0 (*). Campi irrotazionali. Definizione di divergenza di un campo vettoriale tri- o enne-dimensionale. Esempio sul significato fisico: divergenza del campo elettrostatico generato da una carica puntiforme. div rot =0 (*). div grad = laplaciano (*). Identità differenziali coinvolgenti la composizione di due operatori tra div, rot, grad (*).

Campi vettoriali e lavoro. Lavoro o integrale di linea (di seconda specie) di un campo vettoriale; circuitazione; indipendenza dalla parametrizzazione e dipendenza dall'orientazione. Definizione di campo conservativo e potenziale. Il potenziale, se esiste, è determinato a meno di costante additiva in un aperto connesso. Esempio di campo conservativo (campo newtoniano). Calcolo del lavoro di un campo conservativo mediante il potenziale (*). Condizione necessaria perché un campo sia conservativo è che sia irrotazionale (*); esempio per mostrare che la condizione non è sufficiente; aperti semplicemente connessi; un campo irrotazionale in un dominio semplicemente connesso è conservativo, in un dominio qualsiasi è localmente conservativo. Esempio per mostrare che la semplice connessione non è necessaria. Tecnica per il calcolo effettivo del potenziale di un campo conservativo.

Identità differenziali coinvolgenti gli operatori div, rot, grad e uno o due campi scalari o vettoriali (*). Applicazione: deduzione, dalle equazioni di Maxwell in assenza di sorgenti, dell'equazione delle onde soddisfatta dai campi elettrico e magnetico (*).

Calcolo integrale su superfici. Area di una superficie regolare parametrizzata e suo calcolo nel caso parametrico generale e in casi particolari notevoli: superfici di rotazione, superfici grafico di una funzione di due variabili. Integrali di superficie di una funzione continua, esempi di calcoli di aree, baricentri e momenti d'inerzia di superfici materiali. Orientabilità ed orientazione di una superficie; flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientabile, orientata, regolare a pezzi; esempi, significati fisici.

I teoremi di Gauss, Stokes, Green e le loro applicazioni. Teorema (di Gauss) della divergenza (*). Osservazioni e conseguenze: significato dell'operatore divergenza come densità volumica di flusso uscente da un punto (*); teorema di Gauss dell'elettrostatica per un sistema discreto di cariche (*) e per un sistema continuo di cariche (*); deduzione della prima legge di Maxwell dal teorema di Gauss dell'elettrostatica per una distribuzione continua di cariche (*). Orientazione indotta sul bordo di una superficie dall'orientazione di una superficie. Teorema (di Stokes) del rotore. Significato dell'operatore rotore. Deduzione dell'equazione di Maxwell per il rotore del campo elettrico dalla legge di Neumann sul flusso di un campo magnetico variabile (*). Il caso piano del teorema di Stokes: formula di Gauss-Green nel piano (*); suo utilizzo per il calcolo di aree (*); calcolo dell'area di una regione contornata da una curva espressa in forma polare (*).

Riferimento bibliografico: Libro di testo, cap. 6, §§1.2-1.5; 2, 3, 4, 5, 6. Eserciziario, cap. 6, in particolare: Esercizio 6.70, Esercizio 6.72, Esempi 6.18 (passi 1-3), 6.19, 6.20, 6.21.
Approfondimenti e altre letture consigliate: le applicazioni fisiche e gli altri contenuti descritti nell'Eserciziario, cap.6, §6.4.D, E, F sono in parte degli approfondimenti.

6. Serie di funzioni, serie di Fourier

Generalità sulle serie di funzioni. Convergenza puntuale e totale di una serie di funzioni: definizione, teoremi sulla continuità e la derivabilità della somma di una serie di funzioni continue o derivabili.

Cenni alle serie di potenze: raggio di convergenza di una serie di potenze, metodo per calcolarlo, infinita derivabilità termine a termine delle serie di potenze nell'intervallo di convergenza. Serie di Taylor delle funzioni trascendenti elementari; definizione di funzione sviluppabile in serie di Taylor, e relazione con le serie di potenze.Necessità di un diverso algoritmo di approssimazione per funzioni non regolari.

Serie trigonometriche. Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche; criteri di convergenza per serie trigonometriche: convergenza totale, criterio di convergenza puntuale (Prop.7.1), esempi. I polinomi trigonometrici di grado n sono tutte e sole le funzioni del tipo P(cosx,sinx) quando P(x,y) è un polinomio di grado n in x,y.

Serie di Fourier. Sistema trigonometrico: relazioni di ortonormalità (cioè valore dell'integrale del prodotto di due funzioni -uguali o diverse- del sistema trigonometrico) (*); deduzione (non rigorosa) dell'espressione dei coefficienti di Fourier di una funzione Riemann integrabile (*). Definizione di coefficienti di Fourier e serie di Fourier.
Spazi vettoriali con prodotto scalare: definizione di spazio vettoriale reale con prodotto scalare, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, norma indotta dal prodotto scalare, distanza.  Ortogonalità tra due vettori. Teorema di Pitagora per un numero finito di vettori ortogonali (*). Teorema delle proiezioni in uno spazio vettoriale astratto con prodotto scalare, su un sottospazio di dimensione finita munito di una base ortonormale (*).
Applicazione della teoria astratta degli spazi vettoriali con prodotto scalare alle serie di Fourier: lo spazio delle funzioni Riemann integrabili su [0,2pi] col prodotto scalare integrale come esempio notevole di spazio vettoriale con prodotto scalare. Applicazione del teorema delle proiezioni alle serie di Fourier (*): somma parziale di Fourier e sua caratterizzazione geometrica (proiezione sullo spazio dei polinomi trigonometrici di grado fino a n). Disuguaglianza di Bessel e Teorema di Riemann-Lebesgue (*). Serie di Fourier: convergenza in media quadratica e uguaglianza di Parseval.
Funzioni periodiche; periodizzazione di una funzione definita su un intervallo. Serie di Fourier adattate a un intervallo qualunque; coefficienti di Fourier di funzioni pari o dispari. Esempi di serie numeriche calcolate come serie di Fourier in un punto.
Convergenza puntuale delle serie di Fourier. Funzioni regolari a tratti e teorema sulla convergenza puntuale delle serie di Fourier per funzioni regolari a tratti. Convergenza totale delle serie di Fourier di funzioni regolari a tratti con periodizzata continua (*). Teorema sulla velocità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier in base alla regolarità della periodizzata della funzione stessa (per s=1 è il teorema precedente). Si veda anche questo complemento sulle serie di Fourier.
Forma esponenziale complessa delle serie di Fourier.

Riferimento bibliografico: Libro di testo, cap. 7, §§ 1, 2.1, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7. Eserciziario, cap.7, §7.3. Si suggerisce un preliminare ripasso dei concetti fondamentali sulle serie numeriche, sul testo di analisi 1.

Approfondimenti fuori programma e altre letture consigliate (**): Interpretazioni e applicazioni fisiche delle serie di Fourier. Interpretazione fisica dello sviluppo di Fourier di un segnale periodico: armoniche, frequenze, ampiezze..., idea di analisi e sintesi armonica di un segnale periodico. Applicazioni alle equazioni differenziali della fisica matematica: metodo di separazione delle variabili nel caso dell'equazione della corda vibrante con estremi fissati. Modi normali di vibrazione, frequenza fondamentale e armoniche, nodi. Si veda il complemento: equazione della corda vibrante. Altre applicazioni degli sviluppi di Fourier alle equazioni differenziali della fisica matematica: problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace sul cerchio: Libro di testo, cap.7, §3.8.

(**) Le letture consigliate, indicate talvolta come approfondimento, vanno considerate totalmente opzionali: non costituiscono programma d'esame, ma sono suggerimenti per lo studente curioso.

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