Corso di Metodi Matematici per l'Ingegneria
Laurea Magistrale, Ingegneria Nucleare (5 crediti)
Politecnico di Milano
A.A. 2021/2022. Prof. M. Bramanti

Avvisi generali sul corso - Programma - Materiale scaricabile

Nell'A.A. 2022/23 non sono io a tenere questo corso: questa pagina web rimane in rete a puro scopo di documentazione dell'attività passata. Avvisi Programma definitivo dettagliato Scarica dispensa integrativa sulle funzioni di variabile complessa (versione aggiornata al 12/10/21) Il libro di testo del corso è: M. Bramanti: Metodi di Analisi Matematica per l'Ingegneria. Ed. Esculapio, Bologna 2017 (con esercizi svolti) (ristampa 2019)

Presentazione del corso di Metodi matematici per l'ingegneria. Si tratta di un corso di Analisi Matematica che, prendendo le mosse dai soli prerequisiti dei corsi matematici di base, vuole introdurre alcuni strumenti e teorie matematiche tra i più usati nelle applicazioni fisico-ingegneristiche. L'obiettivo è quello di dare allo studente, che verosimilmente ha già visto impiegare certi strumenti matematici in corsi fisico-ingegneristici, una maggior comprensione e consapevolezza dei medesimi, vedendo fondamenti e giustificazioni di fatti e tecniche che diversamente sembrerebbero un po' misteriosi e arbitrari. Tra gli strumenti che si studieranno: trasformate di Fourier e di Laplace, geometria degli spazi di Hilbert, polinomi ortogonali e funzioni speciali (con qualche applicazione significativa); a fondamento di questi, si forniranno elementi della teoria delle funzioni derivabili di variabile complessa ed elementi di analisi funzionale e teoria della misura.

E' disponibile il programma  dettagliato  aggiornato di settimana in settimana con i riferimenti bibliografici al testo.

Programma sintetico:

Richiami di analisi funzionale. Generalità sugli spazi vettoriali, spazi di funzioni, spazi vettoriali normati, spazi metrici. Spazi di funzioni continue o derivabili. Completezza. Spazi di Banach. Nozioni di convergenza per successioni e serie di funzioni. Teoremi fondamentali sulla convergenza uniforme. Derivabilità e integrabilità di successioni e serie nella teoria classica.

Funzioni derivabili di variabile complessa. Topologia nel campo complesso. Funzioni complesse di variabile complessa, concetto di derivabilità e olomorfia. Condizioni di Cauchy-Riemann. Relazioni con la teoria delle funzioni armoniche. Serie di potenze nel campo complesso e loro proprietà, funzioni trascendenti elementari. Integrazione nel campo complesso, teoremi integrali di Cauchy e conseguenze. Analiticità delle funzioni olomorfe. Proprietà delle funzioni analitiche, principi di identità e conseguenze. Applicazioni varie della teoria delle funzioni analitiche. Singolarità isolate di una funzione olomorfa, loro studio mediante serie bilatere. Residui, teorema dei residui e applicazioni.

Elementi di teoria della misura e dell'integrazione di Lebesgue. Motivazioni per la teoria; misure astratte, funzioni misurabili, integrale rispetto a una misura astratta e sue proprietà. Spazi di funzioni integrabili. Integrazione per successioni e serie. Integrali dipendenti da un parametro. Integrali doppi. Convoluzione.

Spazi di Hilbert, funzioni speciali e applicazioni. Generalità sugli spazi vettoriali con prodotto interno. Ortogonalità. Spazi di Hilbert, proiezioni, decomposizione ortogonale, sistemi ortonormali, serie e trasformata di Fourier in uno spazio di Hilbert, rispetto a un sistema ortonormale completo. Applicazioni alle serie di Fourier. Problemi di Sturm-Liouville regolari. Proprietà di autofunzioni e autovalori. Problemi di Sturm-Liouville singolari notevoli e polinomi ortogonali: equazione e polinomi di Legendre, Laguerre, Hermite.

Trasformate integrali e applicazioni. Generalità sulla trasformata di Fourier in Rⁿ . Proprietà di base. Nuclei regolarizzanti e teorema di approssimazione; teorema di inversione per la trasformata di Fourier. Applicazioni a problemi differenziali. Generalit� sulla trasformata di Laplace. Relazioni con la teoria delle funzioni olomorfe e con la trasformata di Fourier. Calcolo di trasformate e antitrasformate con metodi di analisi complessa. Applicazioni a problemi differenziali.

Prerequisiti:
Analisi Matematica 1 e 2. Algebra lineare e geometria.

Orario:

Lezioni a distanza: Martedì 10.15-12.15.

Lezioni in presenza: Venerdì 13.15-16.15, aula B.6.1.

L'esame consisterà in una prova scritta, contenente 3 domande teoriche e 3 esercizi. La durata della prova è di due ore e mezza. Il programma d'esame dettagliato sarà reso disponibile mano a mano durante il corso, in questa pagina web. Lo stesso vale per esercizi tipo e domande teoriche tipo.Si svolgeranno due prove in itinere, la prima nell'interruzione di novembre, la seconda a gennaio. Ciascuna prova in itinere riguarda metà del programma e ha la stessa struttura della prova scritta degli appelli standard, cioè 3 domande teoriche e 3 esercizi. Argomenti di esercizi e programma dettagliato delle domande teoriche saranno comunicati per tempo. Con due prove in itinere sufficienti l'esame è superato.

Libro di testo adottato (con esercizi svolti):

M. Bramanti: Metodi di Analisi Matematica per l'Ingegneria. Ed. Esculapio, Bologna 2017 (Ristampa 2019)

Materiale scaricabile relativo all'A.A. 2021/22:

Approfondimento sull'insieme ternario di Cantor (opzionale, fuori programma)

Riferimenti per lo studio e esercizi per la settimana 7

Riferimenti per lo studio e esercizi per la settimana 8

Programma della prima prova in itinere: argomenti ed esercizi

Domande-tipo di teoria sulla prima prova in itinere

Testo e svolgimento della prima prova in itinere

Riferimenti per lo studio e esercizi per la settimana 9

Riferimenti per lo studio e esercizi per la settimana 10

Riferimenti per lo studio e esercizi per la settimana 11

Riferimenti per lo studio e esercizi per la settimana 12

Domande-tipo di teoria sulla seconda prova in itinere

Programma della seconda prova in itinere: argomenti ed esercizi

Riferimenti per lo studio e esercizi per la settimana 13

Complementi sulle applicazioni della trasformata di Laplace ai circuiti elettrici (approfondimento fuori programma)

Ulteriori approfondimenti alle applicazione della trasformata di Laplace ai circuiti elettrici (fuori programma, ma possono interessarvi in relazione ad argomenti visti in elettrotecnica o altri corsi):

Alcuni capitoli del testo di Ghizzetti-Ossicini su questo argomento, citato nei complementi:

parte 1

parte 2

parte 3

Testo e svolgimento della seconda prova in itinere

Testo e svolgimento dello scritto di febbraio e recuperi sulle prove in itinere

Testo e svolgimento dello scritto di giugno

(Gli appelli di luglio e settembre non hanno avuto studenti presenti, quindi non troverete qui i relativi temi d'esame)

Scarica slides su somme di Riemann e di Lebesgue (file zip con 3 immagini)

Approfondimento sull'insieme ternario di Cantor (opzionale, fuori programma)

Approfondimento sull'applicazione della teoria della misura ai fondamenti assiomatici del calcolo delle probabilità (opzionale, fuori programma)

Testo e svolgimento della prima prova in itinere

Testo e svolgimento della seconda prova in itinere

Testo e svolgimento dell'appello di febbraio 2021 (e recuperi sulle prove in itinere)

(L'appello di giugno 2021 non ha avuto iscritti, quindi non trovate qui nessun tema d'esame)

Testo e svolgimento dell'appello di luglio

Testo e svolgimento dell'appello di agosto

Materiale scaricabile relativo all'A.A. 2019/20:

Qualche risultato sull'integrazione di funzioni pari o dispari nel campo complesso

Testo e svolgimento della prima prova in itinere

Approfondimento fuori programma sulle applicazioni della trasformata di Laplace ai circuiti elettrici

Testo e svolgimento della seconda  prova in itinere

Testo e svolgimento del primo appello e dei recuperi (febbraio 2020)

Testo e svolgimento del secondo appello (giugno 2020)

Testo e svolgimento del terzo appello (luglio 2020)

Testo e svolgimento del quarto appello (settembre 2020)

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