Pubblicazioni scientifiche e attività di ricerca: monografie scientifiche - articoli su riviste scientifiche - comunicazioni e conferenze tenute a congressi o seminari -  convegni organizzati - descrizione sintetica dei filoni di ricerca - proposte di argomenti di tesi per studenti.

Pubblicazioni scientifiche di Marco Bramanti

Qui di seguito si trova l'elenco delle pubblicazioni scientifiche e dei preprints, commentato da una breve descrizione dei filoni di ricerca. Cliccando sul numero del lavoro [n] ci si collega a una sua breve descrizione. E' possibile scaricare i files dei lavori evidenziati in formato PDF, cliccando sull'icona corrispondente, quando presente. Questi file possono contenere una versione del lavoro leggermente diversa da quella pubblicata, per motivi puramente tipografici.

Monografie scientifiche

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[43] M. Bramanti, L. Brandolini: Hörmander operators. World Scientific (2023), pp.XXVIII+693. codice ISBN 978-9811261688 Link to the World Scientific Web Page. Dalla pagina della casa editrice è possibile scaricare liberamente indice, prefazione, introduzione e il primo capitolo.

[28] M. Bramanti: An invitation to hypoelliptic operators and Hörmander's vector fields. Springer Briefs in Mathematics (2014), pp.XI+152. codice ISBN 978-3-319-02086-0 Link to the Springer Web Page.

[15] M. Bramanti, L. Brandolini, E. Lanconelli, F. Uguzzoni: Non-divergence equations structured on Hörmander vector fields: heat kernels and Harnack inequalities. Memoirs of the AMS 204 (2010), no. 961, pp. 1-136. codice ISBN 978-0-8218-4903-3  Link to the A.M.S. Web Page.

Articoli su riviste scientifiche e preprint Torna su     [44] S. Biagi, M. Bramanti: Global Sobolev regularity for nonvariational operators built with homogeneous Hörmander vector fields. Preprint (2024). https://arxiv.org/abs/2312.15367 [43] S. Biagi, M. Bramanti, B. Stroffolimi:  KFP operators with coefficients measurable in time and Dini continuous in space. (2023). Journal of Evolution Equations. (2024)24:32. Published online on April 1st, 2024. [42] S. Biagi, M. Bramanti: Schauder estimates for Kolmogorov-Fokker-Planck operators with coefficients measurable in time and Hölder continuous in space. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 533 (2024), no. 1, Paper No. 127996. [41]. M. Bramanti, G. Cupini, E. Lanconelli, E. Priola: Erratum to the paper "Global Lp estimates for degenerate Ornstein-Uhlenbeck operators with variable coefficients". (Published in Math. Nach. 286 (2103), No.11-12, 1087-1101). Mathematische Nachrichten, 2021; 294: 1839–1842. [40] S. Biagi, M. Bramanti: Non-divergence operators structured on homogeneous Hörmander vector fields: heat kernels and global Gaussian bounds. Advances in Differential Equations, 26 (2021), no. 11-12, 621–658. https://arxiv.org/abs/2011.09322 [39] S. Biagi, M. Bramanti: Global Gaussian estimates for the heat kernel of homogeneous sums of squares. Potential Anal. 59 (2023), no. 1, 113–151. [38] M. Bramanti, S. Polidoro: Fundamental solutions for Kolmogorov-Fokker-Planck operators with time-depending measurable coefficients. Mathematics in Engineering, 2020, 2(4): 734-771. [37] M. Bramanti: On the proof of Hörmander'’s hypoellipticity theorem. Le Matematiche, special issue "New trends in PDEs" (Catania, May 29-30th 2018). Vol 75 No 1 (2020), 3-26. [36] S. Biagi, A. Bonfiglioli, M. Bramanti: Global estimates in Sobolev spaces for homogeneous Hörmander sum of squares. Journal of Math. Anal. and Appl. Volume 498, Issue 1, 1 June 2021, 124935. Published online on January 13, 2021. https://arxiv.org/abs/1906.07835 [35] S. Biagi, A. Bonfiglioli, M. Bramanti: Global estimates for the fundamental solution of homogeneous Hörmander operators. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 201 (2022), no. 4, 1875–1934. https://arxiv.org/abs/1906.07836 [34] M. Bramanti: Space regularity for evolution operators modeled on Hörmander vector fields with time dependent measurable coefficients. Journal of Evolution Equations, 21 (2021), 1419-1448. (Published online October 6, 2020). https://link.springer.com/article/10.1007/s00028-020-00629-3?wt_mc=Internal.Event.1.SEM.ArticleAuthorOnlineFirst [33] M. Bramanti, M. Toschi: The sharp maximal function approach to  estimates for operators structured on Hörmander.s vector fields. Rev. Mat. Complut. (2016) 29: 531-557. http://arxiv.org/abs/1511.03536 [32] M. Bramanti, M. S. Fanciullo: The local sharp maximal function and BMO on locally homogeneous spaces. Annales Academiae Scientiarum Fennicae. Mathematica. Volumen 42, (2017), 1–20.  http://arxiv.org/abs/1511.02384   [31] M. Bramanti, L. Brandolini: A proof of Hörmander' theorem for sublaplacians on Carnot groups. Nonlinear Analysis Series A: Theory, Methods & Applications, 126 (2015), 170-200.   [30] M. Bramanti, L. Brandolini, M. Manfredini, M. Pedroni: Fundamental solutions and local solvability for nonsmooth Hörmander's operators. Memoirs of the AMS, vol. 249, no. 1182, v + 79 pp. (2017).  http://arxiv.org/abs/1305.3398.   [29] M. Bramanti, M.S. Fanciullo: -regularity of solutions to quasilinear equations structured on Hörmander's vector fields. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, Vol. 92 (2013), 13-23.   [27] M. Bramanti, M. S. Fanciullo: BMO estimates for nonvariational operators with discontinuous coefficients structured on Hörmander's vector fields on Carnot groups. Advances in Differential Equations. Volume 18, Numbers 9-10 (2013), 955-1004. http://arxiv.org/abs/1209.3601.   [26] M. Bramanti, G. Cupini, E. Lanconelli, E. Priola: Global Lp estimates for degenerate Ornstein-Uhlenbeck operators with variable coefficients. Mathematische Nachrichten, Vol. 286, Issue 11-12 (2013), 1087–1101.   [25] M. Bramanti, P. Niu, M. Zhu: Interior HW1,p estimates for divergence degenerate elliptic systems in Carnot groups. Journal of Math. Anal. and Appl. 399 (2013). 442-458. [24] M. Bramanti, M. Zhu: Lp and Schauder estimates for nonvariational operators structured on Hörmander vector fields with drift. Analysis & PDE 6-8 (2013), 1793-1855.   [23] M. Bramanti, M. Zhu: Local real analysis in locally homogeneous spaces. (2011). Manuscripta Mathematica. 138, 477–528 (2012). [22] M. Bramanti, M. Miranda, D. Pallara: Two characterization of BV functions on Carnot groups via the heat semigroup. International Mathematics Research Notices. (2012) Vol. 2012, 3845-3876.   [21] M. Bramanti, L. Brandolini, E. O. Harboure, B. Viviani: Global  W2,p estimates for nondivergence elliptic operators with potentials satisfying a reverse Hölder condition. Annali di Matematica Pura e Applicata, Volume 191, Number 2 (2012), 339-362. [20] M. Bramanti, L. Brandolini, M. Pedroni: On the lifting and approximation theorem for nonsmooth vector fields. Indiana University Mathematics Journal. Issue 6 Volume 59 (2010), 1889–1934.   [19b] M. Bramanti: Un risultato di approssimazione per spazi di probabilità finiti non uniformi. 2009. (Lavoro di supporto a [19], non pubblicato).   [19] M. Bramanti: Valutazioni probabilistiche sui riscontri del DNA a scopo di identificazione criminale. La Matematica nella Società e nella Cultura - Rivista dell'Unione Matematica Italiana, Serie I, Vol.II, n. 3, Dicembre 2009, pp.447-493.   [18] M. Bramanti, G. Cupini, E. Lanconelli, E. Priola: Global Lp estimates for degenerate Ornstein-Uhlenbeck operators. Mathematische Zeitschrift, 266, n. 4 (2010), pp. 789-816. [17] M. Bramanti: Singular integrals in nonhomogeneous spaces: L2 and Lp continuity from Hölder estimates. Revista Matematica Iberoamericana 26 (2010), no. 1, 347–366.   [16] M. Bramanti, L. Brandolini, M. Pedroni: Basic properties of nonsmooth Hörmander's vector fields and Poincaré's inequality. Forum Mathematicum. Volume 25, Issue 4, Pages 703–769 (2013). [14] M. Bramanti, L. Brandolini, E. Lanconelli, F. Uguzzoni: Heat kernels for non-divergence operators of Hörmander type. Comptes rendus - Mathematique. Vol. 343, no.7, (2006), 463-466.   [13] M. Bramanti, L. Brandolini: Schauder estimates for parabolic nondivergence operators of Hörmander type. Journal of Differential Equations, 234 (2007), no.1, 177-245. [12] M. Bramanti-L. Brandolini: Estimates of BMO type for singular integrals on spaces of homogeneous type and applications to hypoelliptic PDES. Revista Matematica Iberoamericana, 21 (2005), no. 2, 511–556.   [11] Bramanti, Marco; Brandolini, Luca: Lp-estimates for nonvariational hypoelliptic operators with VMO coefficients. Trans. Amer. Math. Soc. 352 (2000), no. 2, 781-822. [10] M. Bramanti-L. Brandolini: Lp-estimates for uniformly hypoelliptic operators with discontinuous coefficients on homogeneous groups. Rend. Sem. Mat. dell'Univ. e del Politec. di Torino. Vol. 58, 4 (2000), 389-433. [9] Bramanti, Marco; Cerutti, M. Cristina: Commutators of singular integrals on homogeneous spaces. Boll. Un. Mat. Ital. B (7) 10 (1996), no. 4, 843-883. [8] Bramanti, Marco: Commutators of integral operators with positive kernels. Le Matematiche (Catania) 49 (1994), no. 1, 149-168 (1995). [7] Bramanti, M.; Cerutti, M. C.; Manfredini, M.: Lp-estimates for some ultraparabolic operators with discontinuous coefficients. J. Math. Anal. Appl. 200 (1996), no. 2, 332-354. [6b] M. Bramanti-M. C. Cerutti: Commutators of fractional integrals on homogeneous spaces. Quaderno di Dipartimento, Politecnico di Milano, 1994. [6] Bramanti, Marco; Cerutti, M. Cristina: Commutators of singular integrals and fractional integrals on homogeneous spaces. Harmonic analysis and operator theory (Caracas, 1994), 81-94, Contemp. Math., 189, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995.   [5] Bramanti, Marco; Cerutti, M. Cristina: Wp1,2-solvability for the Cauchy-Dirichlet problem for parabolic equations with VMO coefficients. Comm. Partial Differential Equations 18 (1993), no. 9-10, 1735-1763.   [4] Bramanti, Marco: Potential theory for stationary Schrödinger operators: a survey of results obtained with nonprobabilistic methods. Le Matematiche (Catania) 47 (1992), no. 1, 25-61 (1993). [3] Bramanti, Marco: On the gradient of Schwarz symmetrization of functions in Sobolev spaces. Boll. Un. Mat. Ital. B (7) 7 (1993), no. 2, 413-430. [2] Bramanti, Marco: Symmetrization in parabolic Neumann problems. Appl. Anal. 40 (1991), no. 1, 21-39. [1] Bramanti, Marco: Green's function and potential theory for the Schrödinger operator: a nonprobabilistic approach. Rend. Accad. Naz. Sci. XL Mem. Mat. (5) 13 (1989), no. 1, 121-140.

Comunicazioni e conferenze tenute a congressi o seminari (scelte), minicorsi Torna su M. Bramanti: Heat Kernels for Sum of Squares of Homogeneous Hörmander Vector Fields. Webinar: Partial Differential Equations with Nonnegative Characteristic Form, 20 ottobre 2021. Filmato dell'intero webinar M. Bramanti: Campi di Hörmander non regolari e disuguaglianza di Poincaré. Slides della comunicazione tenuta al Congresso U.M.I., settembre 2011, Bologna. M. Bramanti: Schauder estimates for parabolic and elliptic nondivergence operators of Hörmander type. Lecture Notes of Seminario Interdisciplinare di Matematica (Università degli Studi della Basilicata, Dip. di Matematica e Informatica), vol. 6 (2007), pp.69-82. (Testo della conferenza su invito tenuta nel "Meeting on subelliptic PDE's and applications to geometry and finance", Cortona, 12-17/6/2006). M. Bramanti: Schauder Estimates for Parabolic and Elliptic Nondivergence Operators of Hörmander type. Slides della conferenza tenuta nel "Meeting on subelliptic PDE's and applications to geometry and finance" (Cortona, 12-17/6/2006). M. Bramanti: Gaussian bounds for heat kernel in the setting of Hörmander vector fields. Comunicazione tenuta nel Convegno del Gruppo di Ricerca "Aspetti teorici ed applicativi di Equazioni a Derivate Parziali", Ragusa Ibla (RA), 29 giugno-2 luglio 2005. Pubblicato su "Le Matematiche", vol. 60 (2005), fasc. II, pp. 403-409. M. Bramanti: Equazioni non variazionali uniformemente ipoellittiche. Comunicazione tenuta nel Convegno del Gruppo di Ricerca "Aspetti teorici ed applicativi di Equazioni a Derivate Parziali", Maiori (SA), 21-24 aprile 2004. M. Bramanti-M. C. Cerutti-M. Manfredini: Lp-estimates for some ultraparabolic operators with discontinuous coefficients. Proceedings of the Sixth International Colloquium on Differential Equations, Plovdiv, 18-23/8/95; editor: Drumi Bainov.   M. Bramanti: On the Rothschild-Stein lifting theorem and its applications. Text prepared for a minicourse held at Ghent University (Belgium) on January 8-10, 2020.  M. Bramanti: La tecnica della funzione massimale sharp nelle stime a priori W2,p per operatori non variazionali. Seminario tenuto il 15/2/2018 presso il Dipartimento di Matematica dell'Università di Bologna. Pubblicato come: Bruno Pini Mathematical Analysis Seminar, Vol. 9 (2018) pp. 1-19. M. Bramanti: Stime a priori per operatori non variazionali modellati su campi di Hörmander con drift. Seminario tenuto il 14/3/2013 presso il Dipartimento di Matematica dell'Università di Bologna. Pubblicato come: Bruno Pini Mathematical Analysis Seminar, vol.1 (2013), pp.15-37. M. Bramanti: Stime W2,p globali per operatori ellittici non variazionali con potenziale che soddisfa una reverse Hölder condition. Slides di un seminario tenuto presso il Dipartimento di Matematica dell'Università di Catania, aprile 2011. M. Bramanti: Lp estimates for degenerate Ornstein-Uhlenbeck operators. Slides di un seminario tenuto presso l'Universidad Autonoma di Madrid l'11/11/2008. M. Bramanti: Disuguaglianze di Harnack per operatori non variazionali modellati su campi di Hörmander. Slides di un seminario tenuto presso il Dipartimento di Matematica dell'Università della Sapienza di Roma il 23/11/2006. M. Bramanti: Simmetrizzazione di Schwarz di funzioni e applicazioni a problemi variazionali ed equazioni a derivate parziali. Testo di due seminari tenuta il 25 maggio e il 1° giugno 2004 presso il Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano. Quaderno di Dipartimento n°42/R, settembre 2004.   Convegni organizzati Torna su Scuola Estiva su: Campi vettoriali di Hörmander, equazioni differenziali ipoellittiche e applicazioni. 12-16 luglio 2004, Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano Sito web: http://www.mate.polimi.it/scuolaestiva/ E' possibile scaricare il materiale didattico della scuola (dispense, lucidi e papers dei relatori)

Descrizione sintetica dei filoni di ricerca

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In sintesi, i miei principali interessi di ricerca sono stati finora:
1. la teoria delle equazioni alle derivate parziali lineari, del second'ordine, con forma quadratica semidefinita positiva: equazioni ellittiche, paraboliche, ipoellittiche; sia variazionali che non variazionali;
2. l'analisi reale, sia come metodo di studio di problemi di PDE, sia come oggetto proprio di ricerca: teoria degli integrali singolari.
Più in dettaglio, da un punto di vista cronologico e tematico, i lavori sopra elencati si possono raggruppare come segue:

• Operatore di Schrödinger stazionario. (Lavori [1], [4]). Si considera un operatore differenziale lineare del second'ordine uniformemente ellittico in forma di divergenza, con parte principale più termine di ordine zero ("potenziale"). La parte principale ha coefficienti misurabili e limitati; il potenziale appartiene ad una "classe di Kato-Stummel". Si provano varie stime locali sulla funzione di Green, la misura armonica associata, il comportamento alla frontiera delle soluzioni positive. Si riottengono in modo più semplice i risultati di Cranston-Fabes-Zhao, Trans. of Amer. Math. Soc., '88 (e senza usare le tecniche probabilistiche di questo lavoro) e di Chiarenza-Fabes-Garofalo, Proc. of Amer. Math. Soc. '86.
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• Simmetrizzazioni di funzioni. (Lavori [2], [3]). Si utilizzano tecniche di simmetrizzazione radiale (nel senso di Schwarz) per provare stime a priori per soluzioni del problema di Cauchy-Neumann parabolico [2], seguendo il filone di ricerche stimolato da Talenti, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, '76. Con le stesse tecniche si provano poi [3] vari risultati che riguardano la simmetrizzazione del gradiente di una funzione in spazi di Sobolev o Orlicz-Sobolev, ottenendo varie generalizzazioni di un classico teorema di Polya-Szego.
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• Stime L^p per operatori parabolici o ultraparabolici con parte principale non in forma di divergenza, e coefficienti discontinui. (Lavori [5], [7]). Nel 1991-93, Chiarenza-Frasca-Longo (Ricerche di Mat. '91, Trans. Am. Math. Soc., '93) dimostrarono un notevole risultato che estende la classica teoria L^p di Agmon-Douglis-Nirenberg per gli operatori ellittici del second'ordine non variazionali: mentre classicamente per provare la buona posizione del problema di Dirichlet in spazi di Sobolev W ^2,p si richiede la continuità dei coefficienti, Chiarenza-Frasca-Longo provarono che è sufficiente che i coefficienti siano nella classe VMO di Sarason ("Vanishing Mean Oscillation"introdotta in Sarason, Trans. Am. Math. Soc. '75). In questi lavori si provano risultati analoghi a quelli di CFL nel caso di operatori parabolici [5] e di operatori ultraparabolici di tipo Kolmogorov-Fokker-Planck [7]. La classe di operatori considerata in [7] era stata precedentemente studiata da Lanconelli e Polidoro, Rend. Sem. Mat. Polit. Torino 1993.
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• Teoria degli integrali singolari in spazi di tipo omogeneo. (Lavori [6], [6b], [8], [9]). Un ingrediente fondamentale nella dimostrazione delle stime a priori di Chiarenza-Frasca-Longo citate è un teorema di Coifman-Rochberg-Weiss sul commutatore di un integrale singolare di Calderon-Zygmund con l'operatore di moltiplicazione per una funzione BMO. Per estendere queste tecniche al caso parabolico, ultraparabolico, e poi subellittico, è stato necessario estendere questo teorema sul commutatore al contesto astratto degli "spazi di tipo omogeneo" nel senso di Coifman-Weiss. Questo programma è stato attuato in [9]. In [6b] si provano analoghi risultati per gli integrali frazionari. (I risultati di [9] e [6b] sono raccolti sinteticamente in [6]). In [8] invece si generalizzano i risultati di [6] al caso di operatori più generali con nucleo positivo. I risultati di [8] sono stati utilizzati da altri autori per provare stime a priori vicino alla frontiera per operatori differenziali di vario tipo. I risultati di [6b], [8], [9] sono stati utilizzati nelle successive ricerche su operatori di tipo ipoellittico, [10] e [11].
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Stime di tipo L^p, BMO e Hölderiane per operatori differenziali in forma di nondivergenza costruiti mediante campi vettoriali di Hörmander. (Lavori [10], [11], [12], [24], [27]).
In questi lavori si studia una nuova classe di operatori differenziali lineari del second'ordine, che si potrebbero chiamare "operatori nonvariazionali uniformemente ipoellittici". (Per una panoramica sull'argomento, si veda anche il testo della comunicazione tenuta in un convegno nell'aprile 2004). Questi generalizzano gli operatori nonvariazionali uniformemente ellittici, quando alle derivate cartesiane si sostituiscono le derivate rispetto a una famiglia di campi vettoriali di Hörmander. Tali operatori sono emersi in maniera naturale, in anni recenti, dallo studio di problemi geometrici in più variabili complesse (v. Montanari-Lanconelli, J. Diff. Eq. 202, 2004 e bibliografia ivi cit.) e di modelli matematici nella teoria della visione umana (v. Citti-Sarti, to appear in J. Math. Imaging and Vision, e bibliografia ivi cit.).
Per questi operatori interessa stabilire stime a priori di tipo L^p (ossia: controllare la norma L^p delle derivate seconde rispetto ai campi della soluzione mediante la norma L^p del termine noto, almeno localmente). Per i corrispondenti operatori modello (somma di quadrati di Hörmander) queste stime sono state dimostrate da Folland, Arkiv for math., '75, e da Rothschild-Stein, Acta Mathematica, '76. Il primo lavoro considera il caso particolare in cui i campi sono invarianti per traslazione rispetto ad un'opportuna struttura di gruppo, e omogenei di grado due rispetto ad un'opportuna famiglia di dilatazioni; il secondo studia invece il caso generale, riconducendolo alla situazione particolare studiata nel lavoro precedente. Le analoghe stime per operatori "uniformemente ipoellittici" sono stati dimostrati in [10], nelle ipotesi di Folland, e in [11] nel caso generale, assumendo i coefficienti dell'operatore nella classe VMO (rispetto alla struttura metrica indotta dai campi). Questi risultati quindi, da una parte generalizzano gli analoghi di Folland e di Rothschild-Stein (campi di Hörmander ma matrice dei coefficienti identità), dall'altra generalizzano i risultati di Chiarenza-Frasca-Longo (matrice a coefficienti VMO ma derivate "cartesiane"). Rispetto alle varie estensioni della teoria  di Chiarenza-Frasca-Longo che esistono in letteratura, la situazione qui considerata costituisce il primo caso in cui la soluzione fondamentale del corrispondente operatore a coefficienti congelati non è esplicitamente nota, e quindi le stime uniformi su questa soluzione fondamentale, cruciali per l'applicazione della tecnica, vanno provate con un delicato ragionamento indiretto, che costituisce tecnicamente uno dei punti chiave del lavoro [10].
Nel lavoro [24], generalizzando i risultati ottenuti in [10], [11] e [13], si provano stime a priori sia di tipo L^p che Hölderiane per operatori non variazionali modellati su campi di Hörmander qualsiasi (cioè anche senza una struttura di gruppo) e contenenti termine di drift. Le difficoltà ulteriori dovute alla presenza del drift costringono a cambiare parzialmente il quadro astratto di riferimento per la teoria degli integrali singolari, che per questo lavoro è stata sviluppata ad hoc in [23].
In [12], invece, si provano analoghe stime in spazi di tipo BMO, che sostituiscono, in un certo senso, le stime L^p, che come noto non valgono, già nel caso ellittico. Stime BMO analoghe, per il laplaciano o per operatori ellittici, sono state provate, sotto varie ipotesi, da Peetre, Ann. Mat. Pura Appl. 1966, Chang-Dafni-Stein, Trans. A.M.S. 1999, e Chang-Li, Ann. Pisa, 1999. In questo lavoro le stime sono dimostrate in una scala di spazi di tipo BMO, assumendo che i coefficienti dell'operatore siano uniformemente continui, con opportune ipotesi sul modulo di continuità.
Successivamente, in [27], invece, lo stesso tipo di problematica è stato affrontato in un'ottica diversa, con l'obiettivo di considerare, almeno nel caso di campi invarianti su gruppi di Carnot, anche coefficienti eventualmente discontinui, e precisamente nella classe VLMO ("vanishing logarithmic mean oscillation"). Per ottenere questo scopo si sono dovuti provare diversi nuovi risultati di analisi reale e teoria degli integrali singolari, oltre a rivisitare e migliorare certe raffinate stime uniformi che erano state ottenute da Bonfiglioli-Lanconelli-Uguzzoni sulla soluzione fondamentale di un operatore modellato su campi di Hörmander su un gruppo di Carnot.
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• Stime di tipo L^p per sistemi di equazioni in forma di divergenza strutturati su campi di Hormander in gruppi di Carnot. (Lavoro [25]). Le stime a priori L^p descritte nei lavori precedenti non si possono provare anche per i sistemi di equazioni utilizzando tecniche simile, in quanto in questo caso non è nota l'esistenza di una soluzione fondamentale con buone proprietà, risultato cardine nell'applicazione delle tecniche descritte. Nel lavoro [25] si ottengono stime di questo tipo, per sistemi di equazioni in forma di divergenza a coefficienti VMO, utilizzando una tecnica completamente diversa, inizialmente concepita da Byun-Wang per trattare sistemi di equazioni ellittiche anche in domini molto irregolari. Si ottengono allo scopo alcune stime locali che coinvolgono la funzione massimale del quadrato del gradiente (subellittico) della soluzione e si mostra come la soluzione del sistema a coefficienti variabili può essere approssimata localmente con la soluzione di un sistema a coefficienti costanti, per la quale sono note opportune stime a priori.
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• Operatori di evoluzione in forma di nondivergenza costruiti mediante campi vettoriali di Hörmander. (Lavori [13], [14], [15], [29], [34]). Accanto agli "operatori nonvariazionali uniformemente ipoellittici" sopra descritti, si possono considerare i corrispondenti operatori di evoluzione (derivata rispetto al tempo meno l'operatore nonvariazionale modellato sui campi vettoriali di Hörmander, ove la matrice dei coefficienti dipende anche dal tempo). Questi operatori presentano delle problematiche loro proprie, come lo studio del "nucleo del calore" associato. Nel caso di campi omogenei e invarianti rispetto ad una struttura di gruppo omogeneo, Bonfiglioli-Lanconelli-Uguzzoni hanno provato, nell'arco di diversi lavori (v.  Bonfiglioli-Lanconelli-Uguzzoni, Trans. Amer. Math. Soc. 356 (2004), e bibliografia ivi cit.) che il corrispondente operatore nonvariazionale "parabolico" a coefficienti Hölderiani possiede una soluzione fondamentale che soddisfa stime gaussiane naturali dall'alto e dal basso, le sue derivate soddisfano stime gaussiane dall'alto, e per le soluzioni positive dell'equazione vale una disuguaglianza di Harnack parabolica invariante per dilatazioni. Risultati analoghi vengono provati nel caso di campi di Hörmander qualsiasi (ossia senza una soggiacente struttura di gruppo) in [15] (di cui contiene [14] l'annuncio dei principali risultati). Le tecniche utilizzate per questa estensione sono numerose e complesse. (Per una esposizione sintetica di questi risultati, non ancora pubblicati, si veda il testo di una comunicazione del 2005).
  Una delle proprietà che si dimostra, per la soluzione fondamentale dell'operatore di evoluzione nonvariazionale a coefficienti Hölderiani modellato su campi di Hörmander, è che questa appartiene allo spazio di Hölder parabolico C^2,a, in ogni regione discosta dal polo. Questo risultato viene provato grazie ad una opportuna "teoria di Schauder" per la medesima classe di operatori, sviluppata in [13], generalizzando risultati parziali ottenuti da Xu in Comm. Pure Appl. Math. 45 (1992). La medesima teoria si applica, come caso particolare, agli operatori nonvariazionali stazionari, facendo quindi da controparte alla teoria sviluppata in [10] e [11]. Uno degli ingredienti su cui si regge questa teoria è lo studio della continuità di operatori di integrale singolare di tipo Calderon-Zygmund sugli spazi di Hölder C^a , nel contesto degli spazi di tipo omogeneo: il risultato in questione è pure provato in [13]. Sulle stime di Schauder, sono qui disponibili anche le slides di una conferenza tenuta nel giugno 2006.
  In [29], sfruttando tra l'altro i risultati di [13], si dimostra un risultato di regolarizzazione nella scala di spazi  C^k,a  che consente, mediante la consueta tecnica di bootstrap, di ottenere un analogo risultato di regolarità per soluzioni di equazioni quasilineari modellate su campi di Hörmander.
  In [34] si considerano operatori di evoluzione modellati su campi di Hörmander invarianti a sinistra su gruppi di Carnot, ove la matrice dei coefficienti, uniformemente positiva, dipende solo dal tempo e i coefficienti sono solo misurabili e limitati. Per questi operatori L si dimostra un teorema di tipo Hörmander, cioè: se Lu è molto regolare nelle variabili spaziali, lo stesso vale per u, con stime di regolarità nella scala degli spazi di Sobolev indotti dai campi invarianti a destra. Per far questo si estendono le tecniche utilizzate in [31] per operatori di Hörmander classici.
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• Campi di Hörmander non regolari. (Lavori [16], [20], [30]). Nel lavoro [16] si considera un sistema di campi vettoriali definiti in un dominio di Rⁿ, che soddisfa la condizione di Hörmander al passo r; i coefficienti dei campi vettoriali sono assunti di classe C^r-1,1 (ossia i commutatori di ordine più alto sono lipschitziani). Sotto queste ipotesi si riottengono i risultati che, per campi di Hörmander a coefficienti  infinitamente derivabili, sono stati dimostrati da Nagel-Stein-Weinger in Acta Math. 155 (1985), ossia: le proprietà di base della distanza indotta dai campi, la proprietà di connettività (teorema di Chow), la proprietà di doubling per le sfere metriche, l'equivalenza tra due diverse distanze. Quindi si dimostra una disuguaglianza di Poincaré, analoga a quella provata, per campi di Hörmander a coefficienti infinitamente derivabili, da Jerison in Indiana Univ. Math. J. 35 (1986). In base a risultati astratti già noti, questi fatti implicano anche un'immersione di Sobolev. Con questi strumenti, poi, è possibile dedurre la validità di risultati di regolarità del tipo De Giorgi-Nash-Moser per operatori differenziali del second'ordine di tipo divergenza, strutturati su questi campi nonsmooth. Questo lavoro costituisce il primo esempio di teoria per campi di Hörmander nonsmooth di passo qualsiasi e struttura qualsiasi. In [20] si considera un contesto analogo, assumendo che i campi siano di classe  C^r-1,a  e supponendo che vi sia una campo (di drift) che ha "peso 2" (i cui coefficienti sono di classe  C^r-2,a ). In questo contesto si sviluppa una teoria di "lifting e approssimazione" analoga a quella costruita per campi regolari da Rothschild-Stein su Acta Math. 1976. In particolare si studiano le proprietà della funzione analoga alla "mappa theta" di Rothschild-Stein, che in questo caso è una famiglia a un parametro di diffeomorfismi regolari, dipendenti dal parametro in modo solo Hölderiano. Questa strumentazione costituisce il primo passo per poter costruire una soluzione fondamentale per operatori di tipo Hörmander modellati su campi nonsmooth, obiettivo che viene affrontato nel lavoro [30]. Qui, sfruttando a fondo tutta la teoria nonsmooth sviluppata in [16] e [20], si mostra come mediante un'opportuna applicazione del metodo della parametrice si riesca a costruire una soluzione fondamentale locale per un operatore di Hörmander modellato su campi nonsmooth (drift compreso). Questa soluzione fondamentale soddisfa proprietà naturali di crescita, stime sulle proprie derivate prime e seconde; tutto ciò consente di provare un primo risultato di risolubilità locale per operatori di Hörmander nonsmooth con termine noto hölderiano.
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• Integrali singolari in spazi non omogenei. (Lavori [17], [23]). Alcuni lavori di fine anni 1990 di Nazarov-Treil-Volberg, Tolsa ed altri autori, hanno mostrato come la proprietà doubling della misura, tradizionalmente considerata come pietra angolare per lo sviluppo dell'analisi reale ed in particolare della teoria degli integrali singolari in contesti astratti (spazi di tipo omogeneo nel senso di Coifman e Weiss) è in realtà non necessaria, e può essere sostituita da condizioni in un certo senso più deboli, ad esempio una stima dall'alto del volume delle sfere di raggio r mediante una potenza fissata di r. Nel lavoro [17] si dimostrano risultati di continuità L² e L^p per integrali singolari nel contesto di uno spazio limitato dotato di una quasidistanza quasisimmetrica e una misura che soddisfa la stima dall'alto sopra accennata. Quanto al nucleo singolare, si assume che soddisfi le "stime standard", ed una proprietà di cancellazione esprimibile come limitatezza di T(1) e T^*(1). Rispetto alla letteratura esistente, queste ipotesi sono più generali per quanto riguarda la quasidistanza, meno generali per quanto riguarda la proprietà di cancellazione del nucleo. Tuttavia il tipo di cancellazione qui assunta è quella che tipicamente si presenta nelle applicazioni ai problemi di stime a priori per E.D.P. lineari, in vista delle quali questo lavoro è stato pensato. Inoltre, un elemento di originalità metodologica è la tecnica con cui si dimostra la continuità L², passando attraverso la continuità su spazi di Hölder. Questo fatto rende realmente semplice e autocontenuta la dimostrazione delle stime L². Un'applicazione di questa teoria è data nel lavoro [18], e sembra essere il primo caso di applicazione della teoria degli spazi nononogenei a problemi di PDE.
  Nel lavoro [23], invece, si introduce e studia la struttura astratta di spazio localmente omogeneo, ossia un insieme dotato di una funzione che è localmente una quasidistanza e una misura che è localmente doubling. Questo contesto appare adatto allo studio di certi problemi di PDE subellittiche in cui non si è in grado di dimostrare che la misura sia globalmente doubling. Nel lavoro si estendono a questo contesto risultati su integrali singolari e frazionari, e loro commutatori, che erano già noti in spazi di tipo omogeneo. I risultati di questo lavoro sono stati applicati alla dimostrazione di stime a priori per operatori ellittico-parabolici degeneri in [24].
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• Operatore di Ornstein-Uhlenbeck degenere. (Lavori [18], [26]). In [18] si considera una certa classe di operatori A di Ornstein-Uhlenbeck degeneri ma ipoellittici in R^N, ed i corrispondenti operatori di evoluzione L=A-D_t . E' noto che l'operatore L è invariante rispetto ad un gruppo di Lie di "traslazioni" in R^N+1; inoltre, la classe di operatori L contiene una sottoclasse che è anche omogenea di grado 2 rispetto ad un'opportuna famiglia di dilatazioni. In questo caso, l'operatore rientra nella teoria di Folland, Arkiv for Mat. (1976), e per le derivate seconde che compaiono nell'equazione valgono stime L^p globali. In questo lavoro si dimostrano analoghe stime globali, per l'operatore A, nel caso generale, però, in cui il corrispondente operatore di evoluzione non è omogeneo rispetto ad una famiglia di dilatazioni. Stime L^p globali di questo sono nuove non solo per operatori di tipo Ornstein-Uhlenbeck, ma più in generale per operatori di Hörmander privi di una struttura di gruppo omogeneo. Il risultato è reso possibile dalla combinazione di diversi strumenti e risultati, noti o nuovi: l'esistenza di una soluzione fondamentale per l'operatore L, invariante per traslazioni e a decadimento rapido all'infinito (nello spazio); le relazioni tra questa soluzione fondamentale e quella di un altro operatore L₀, detto parte principale di L, che ha un gruppo omogeneo soggiacente; l'introduzione di una speciale quasidistanza, modellata sia sull'operatore L che sulla norma omogenea relativa a L₀; l'applicazione della teoria degli integrali singolari in spazi non omogenei, sviluppata ad hoc nel lavoro [17], la dimostrazione di un lemma di ricoprimento mediante sfere metriche.
  In [26] i risultati di [18] si estendono alla situazione in cui la parte principale dell'operatore ha coefficienti uniformemente continui anziché costanti.
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• Questioni probabilistiche legate al test del DNA. (Lavori [19], [19b]). Non si tratta di un mio tema di ricerca in senso stretto, ma piuttosto di una curiosità. In [19] si descrive in cosa consiste il test del DNA a scopo di identificazione criminale, si presentano alcuni problemi probabilistici legati all'interpretazione corretta dei suoi risultati, e si cerca di dare qualche risposta a questi problemi, calcolando a partire da dati reali alcune quantità significative in questo ambito. In particolare, certi problemi legati all'utilizzo di database del DNA (in uso in altri paesi) pongono questioni a cui non è facile rispondere con calcoli esatti. Infatti, per quanto concettualmente ci si trovi nell'ambito della probabilità elementare nel finito, i grandi numeri coinvolti rendono inutilizzabili certe formule di calcolo esatto, e suggeriscono l'utilizzo di approssimazioni numeriche. Il lavoro [19b] ha lo scopo di dimostrare un risultato di stima a priori dell'errore nell'approssimazione numerica di una certa probabilità che è stata utilizzata in [19]; questo risultato può forse avere un interesse indipendente.
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• Stime W^2,p globali per operatori ellittici con potenziali che soddisfano una reverse Hölder condition. (Lavoro [21]) Si considera un operatore lineare uniformemente ellittico definito in tutto Rⁿ, con parte principale non in forma di divergenza e coefficienti VMO, e potenziale soddisfacente una condizione di reverse Holder (quindi non necessariamente limitato né appartenente a qualche spazio L^p in tutto Rⁿ). Si stabiliscono stime W^2,p globali e si prova quindi esistenza e unicità della soluzione dell'equazione nello spazio considerato.
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• Perimetri e funzioni a variazione limitata in gruppi di Carnot. (Lavoro [22]). E' noto che il concetto di perimetro di un insieme nel senso di De Giorgi può essere definito sia mediante il gradiente distribuzionale della funzione caratteristica di un insieme, sia mediante il nucleo del calore, mediante il limite per tempi brevi della variazione totale della soluzione del problema di Cauchy per l'equazione del calore avente dato iniziale la funzione caratteristica dell'insieme. In questo lavoro si dimostra che anche nei gruppi di Carnot queste due diverse definizioni danno luogo alla stessa classe di insiemi di perimetro finito, con equivalenza tra i valori dei perimetri definiti in base ai due diversi procedimenti. Analogo risultato vale per la variazione totale di una funzione e la classe delle funzioni BV.
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• Teoria degli operatori di Hörmander classici. (Lavoro [31]). Nell'ambito di una rivisitazione sistematica della teoria classica degli operatori di Hörmander, si presenta una dimostrazione del teorema di ipoellitticità di Hörmander valida per sublaplaciani su gruppi di Carnot, che utilizzando le strutture di gruppo e una definizione di norme di Sobolev mediante rapporti incrementali si presenta più semplice e trasparente di quella valida nel caso generale.
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• Stime a priori per operatori nonvariazionali strutturati su campi di Hörmander mediante tecniche di funzione massimale sharp. (Lavori [32], [33]). Nel 2007 Krylov ha introdotto una nuova tecnica per dimostrare stime a priori per equazioni ellittiche o paraboliche nonvariazionali con coefficienti poco regolari (VMO o simili), alternativo rispetto a quello inaugurato da Chiarenza-Frasca-Longo nel 1993, e basato sulla stima puntuale della funzione massimale sharp delle derivate seconde della soluzione. Nel lavoro [33] si mostra come questa tecnica possa essere adattata allo studio di operatori nonvariazionali modellati su campi di Hormander su gruppi di Carnot, riottenendo in modo più semplice le stime a priori originariamente provate nel lavoro [10]. Il risultato ottenuto si basa sull'apllicazione di una versione della disguaglianza massimale di Fefferman-Stein per la funzione massimale sharp, estesa agli spazi localmente doubling. Questo risultato astratto di analisi reale è stato dimostrato, insieme ad una versione locale della disuguaglianza di John-Nirenberg, nel lavoro [32], in cui si prosegue il progetto, iniziato in [23], di estendere sistematicamente i risultati di analisi reale noti in spazi doubling agli spazi localmente doubling, in un'opportuna versione locale.
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