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Corso di Analisi Matematica 2
Ingegneria Elettronica (10 crediti - ord. L.270)
Politecnico di Milano
A.A. 2023/2024. Prof. M. Bramanti

in corsivo grassetto le novità

Avvisi

Lezioni in presenza e video delle lezioni. Secondo quanto raccomandato dal Corso di Studi in Ing. Elettronica e dalla Scuola 3I, lezioni e esercitazioni si svolgeranno in presenza, saranno registrate e i video messi a disposizione qui; non saranno però trasmesse in streaming. Raccomando vivamente di frequentare in presenza tutte le lezioni e esercitazioni del corso. I video sono uno strumento in più a sostegno dello studio, non sono pensati perché lo studente sostituisca la frequenza effettiva con l'ascolto in differita dei video. Analogamente, gli esami si svolgeranno (esclusivamente) in presenza, salvo diversa indicazione dell'Ateneo.

Utilizzo dell'aula webex. L'aula webex del docente potrà essere utilizzata saltuariamente per ricevimento studenti o se per motivi eccezionali si rendesse necessario fare qualche lezione a distanza.

Materiale da scaricare o consultare:

Video della lezione di lunedì 18 dicembre  Nei primi 18 minuti di questa lezione ci sono tutti gli avvisi e le regole riguardanti gli esami

Testo e svolgimento dello scritto dell'appello di luglio 2024

Scarica complementi sulle serie di Fourier (in programma)

Consigli sullo studio dell'esame di analisi 2

Come studiare le dimostrazioni

Programma definitivo dettagliato

Collegamenti ai video di lezioni e esercitazioni

Avvisi per la seconda prova in itinere

Didattica innovativa
(e link alle lezioni online del MOOC "Equazioni Differenziali" da seguire quando indicato a lezione)

Accesso alla personal Room di Marco Bramanti:

https://politecnicomilano.webex.com/meet/marco.bramanti


 

Informazioni

Contenuti del corso
Obiettivi del corso
Programma di massima
Libro di testo
Eserciziario
Prerequisiti

Organizzazione del corso
Orario
Ricevimento studenti
Modalità d'esame
F.A.Q. sull'esame

Programma definitivo dettagliato

 Didattica innovativa
(e link alle lezioni online da seguire quando indicato a lezione)

Materiale scaricabile
(files PDF)

A. Esercizi e Temi d'esame dell'anno 2023/2024

Test sui prerequisiti
Esercizi e riferimenti per lo studio per la settimana 1
Esercizi e riferimenti per lo studio per la settimana 2
Esercizi e riferimenti per lo studio per la settimana 3
Esercizi e riferimenti per lo studio per la settimana 4
Esercizi e riferimenti per lo studio per la settimana 5
Esercizi e riferimenti per lo studio per la settimana 6
Esercizi e riferimenti per lo studio per la settimana 7
Esercizi e riferimenti per lo studio per la settimana 8
Esercizi e riferimenti per lo studio per la settimana 9
Esercizi e riferimenti per lo studio per la settimana 10
Testo e svolgimento della prima prova in itinere
Esercizi e riferimenti per lo studio per la settimana 11
Esercizi e riferimenti per lo studio per la settimana 12
Esercizi e riferimenti per lo studio per la settimana 13
Esercizi e riferimenti per lo studio per la settimana 14
Esercizi e riferimenti per lo studio per la settimana 15
Testo e svolgimento della seconda prova in itinere
Testo e svolgimento dello scritto di febbraio 2024 e recuperi sulle prove in itinere
Testo e svolgimento dello scritto di giugno 2024
Testo e svolgimento dello scritto di luglio 2024

Temi d'esame dell'A.A. 2022/23

Testo e svolgimento della prima prova in itinere
Testo e svolgimento della seconda prova in itinere
Testo e svolgimento dei temi d'esame del primo appello e recuperi
Testo e svolgimento del tema d'esame dell'appello di giugno 2023
Testo e svolgimento del tema d'esame dell'appello di luglio 2023
Testo e svolgimento del tema d'esame dell'appello di settembre 2023

Temi d'esame dell'A.A. 2021/22

Testo e svolgimento della prima prova in itinere
Testo e svolgimento della seconda prova in itinere
Testo e svolgimento di primo appello e recuperi
Testo e svolgimento dell'appello di giugno 2022
Testo e svolgimento dell'appello di luglio 2022
Testo e svolgimento dell'appello di settembre 2022

B. Informazioni e materiale per l'orale

 Consigli sullo studio della teoria e la preparazione
dell'orale per l'esame di analisi 2

Come studiare le dimostrazioni

C. Complementi

Note storiche sulle equazioni differenziali
Schema sul metodo di somiglianza per le E.D.O.
Continuità, derivabilità, differenziabilità: implicazioni e contresempi
Stima uniforme per forme quadratiche definite
Esempio di regressione lineare in scala logaritmica
Equazione della corda vibrante

Complementi sulle serie di Fourier

D. Grafici

Scarica files GeoGebra mostrati a lezione su:

Curve:
ellisse
iperbole
elica cilindrica
elica conica
Folium di Cartesio

Scarica immagini di grafici prodotti con Mathematica per:
grafici e linee di livello di funzioni di due variabili;
limiti e continuità per funzioni di due variabili
derivabilità e differenziabilità per funzioni di due variabili

massimi e minimi vincolati

Scarica files Mathematica per calcolare serie di Fourier
(è necessario il programma Wolfram Mathematica):
Notebook sul calcolo esatto delle serie di Fourier (quando possibile)
Notebook sul calcolo approssimato delle serie di Fourier

Contenuti   su

Obiettivi del corso   su
Scopo del corso è presentare, come proseguimento del corso di Analisi 1, alcuni  argomenti dell'Analisi Matematica indispensabili per l'utilizzo consapevole del linguaggio e degli strumenti delle discipline fisiche ed ingegneristiche.

Programma sintetico del corso:   su
Funzioni reali di due o più variabili reali: limiti, continuità, curve e superfici di livello, gradiente, differenziabilità e approssimazione lineare, derivate successive, formula di Taylor; ottimizzazione libera; ottimizzazione vincolata, metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Equazioni differenziali lineari: equazioni del primo e del secondo ordine, principio di sovrapposizione, struttura dell'integrale generale, esistenza ed unicità per il problema ai valori iniziali, tecniche di risoluzione. Serie di Fourier: convergenza puntuale, spettro di ampiezza. Integrali doppi e tripli: proprietà ed applicazioni, formule di riduzione, cambiamento di variabili (coordinate polari, cilindriche, sferiche). Curve nello spazio: regolarità, retta tangente e piano normale. Integrali di linea: lunghezza di una curva, lavoro di un campo vettoriale, campi vettoriali conservativi, funzione potenziale. Superfici in R3: area, integrali di superficie, flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie; teoremi della divergenza e del rotore nel piano e nello spazio.
E' disponibile anche una versione dettagliata del programma.

Testo adottato:   su
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi matematica 2. Ed. Zanichelli, Bologna, 2009. Questo è il testo che sarà fedelmente seguito nelle lezioni. Contiene anche esercizi.

Eserciziario:   su
M. Bramanti: Esercitazioni di Analisi 2. Ed. Esculapio, Bologna, 2012. Contiene numerosi esercizi, di ciascuno dei quali è riportata la soluzione o lo svolgimento intero. Gli esercizi di questo testo sono tratti in buona parte dai temi d'esame degli ultimi anni; perciò questo eserciziario costituisce un'adeguata preparazione alle prove scritte. Per questo motivo non sono invece disponibili (né in forma cartacea né online) raccolte sistematiche di temi d'esame. Questo testo non contiene solo una raccolta di esercizi, ma un vero e proprio percorso guidato verso l'affronto e la risoluzione dei medesimi, perciò è caldamente consigliato a tutti, e in particolare a chi ha frequentato il corso poco o male. Contiene anche alcuni complementi teorici e molti esempi e applicazioni di tipo fisico.

Una lettura consigliata per chi invece vuole approfondire il metodo di studio e la mentalità della matematica è il testo:
M. Bramanti, G. Travaglini: MATEMATICA. QUESTIONE DI METODO. Ed. Zanichelli, Bologna, 2009

Prerequisiti   su
Un "prerequisito" è un argomento che:
1) è necessario conoscere per capire il corso;
2) non viene spiegato nel corso.
Il corso di Analisi Matematica 2 ha per prerequisiti il corso di Analisi Matematica 1 e quello di Geometria e Algebra lineare.

Organizzazione del corso

Orario delle lezioni ed esercitazioni:   su
LUNEDI', h. 13.15-15.15, aula 25.0.2 (lezione)
MERCOLEDI', h. 10.15-13.15 aula 2.1.1 (lezione)
GIOVEDI', h. 14.15-17.15 aula 25.S.1 (esercitazioni)

Le esercitazioni saranno tenute dal prof. Norman Potrich.

Qualunque eventuale variazione sarà comunicata a lezione.

Ricevimento studenti:   su
Su appuntamento (in presenza, nel mio ufficio, o a distanza, nella mia aula webex). Il mio ufficio è al Dipartimento di Matematica (edificio "La Nave"), 4° piano, interno 4567, ingresso da via Ponzio.

Modalità d'esame    su

L'esame consiste in una prova scritta (esercizi da svolgere) ed una prova orale (domande su definizioni, esempi, enunciati e dimostrazioni di teoremi). Gli appelli d'esame si svolgeranno a Febbraio, Giugno, Luglio e Settembre 2024. Per sostenere l'esame in un dato appello, è obbligatorio iscriversi all'appello al Poliself, entro la scadenza indicata dal Poliself stesso (pensarci per tempo!). Il superamento della prova scritta (negli appelli d'esame o attraverso prove parziali, vedi sotto) d' accesso alla prova orale. Il voto conseguito nella prova scritta è indicativo e parziale e può essere modificato, in senso negativo o positivo, dalla prova orale.

Durante il corso dell'anno saranno effettuate due prove parziali ("in itinere") nei mesi di Novembre 2023 e Gennaio 2024. L'esito sufficiente in entrambe le prove parziali permette l'esonero dalla prova d'esame scritta. Gli studenti che avranno ottenuto l'esonero attraverso le prove parziali potranno sostenere la prova orale in occasione degli appelli d'esame (sempre previa iscrizione al poliself). Possono presentarsi alla seconda prova in itinere anche gli studenti che non hanno superato la prima o non si sono presentati alla prima.

Per gli studenti che avranno sostenuto le prove parziali con esito non completamente sufficiente si potranno verificare i seguenti casi:

  • entrambe le prove sono gravemente insufficienti (o non effettuate): in tal caso gli studenti dovranno presentarsi all'esame in uno dei quattro appelli previsti
  • una sola delle prove è sufficiente: gli studenti potranno, in occasione del primo appello d'esame (febbraio), svolgere solo la parte della prova scritta corrispondente alla prova in cui hanno ottenuto una valutazione insufficiente. Superando tale prova si acquisisce il diritto a presentarsi all'orale nello stesso appello o nei successivi appelli dell'anno accademico. Se lo scritto non viene superato entro il primo appello, negli appelli successivi lo studente dovrà svolgere lo scritto sull'intero programma (ossia: non si terrà più conto di risultati parziali).
  • nel caso in cui una delle due prove sia insufficiente con un voto di 17, l'altra sia pienamente sufficiente, e la media dei due voti sia sufficiente, potrà decidere (valutando a mia discrezione caso per caso) di considerare superata la prova scritta.

L'assenza ad una delle prove parziali equivale ad una valutazione gravemente insufficiente.

E' possibile rifiutare il voto dello scritto intero (ottenuto in un appello o come media dei voti delle due prove in itinere), mentre non è possibile rifiutare il voto sufficiente di una sola prova in itinere, se sono entrambi sufficienti.

Uno studente che supera lo scritto (con due compitini o in un appello), deve sostenere l'orale; può farlo nello stesso appello o in un altro appello dello stesso anno accademico; se viene bocciato all'orale, lo scritto rimane valido per tutto l'anno accademico in corso.

F.A.Q. sull'esame su

Com'è lo scritto? Dove trovo temi d'esame?
Lo scritto (di prova in itinere o di un appello) consiste di 5 esercizi, senza domande di teoria, e dura 2 ore e mezza. Non è consentito l'uso di testi, appunti, calcolatrici, cellulari. E' obbligatorio portare un documento di identità valido, con fotografia, ed essersi iscritti all'appello. Non è consentito uscire e rientrare durante la prova.
In questa pagina web si trovano alcuni temi d'esame dei due A.A. precedenti. Gli esercizi contenuti nel libro di testo e soprattutto nell'eserciziario sopra indicati sono un ottimo indicatore del tipo e livello di esercizi d'esame, soprattutto se consultati tenendo d'occhio il programma d'esame dettagliato. Nell'arco del corso (in particolare a ridosso delle due prove in itinere) metterà in rete dei fac-simile di prove scritte, per orientare maggiormente. Eventuale ulteriore materiale didattico sarà disponibile in questa pagina web. (Non cercatelo altrove). Si leggano con attenzione le modalità d'esame sopra illustrate, per le regole relative a prove in itinere e prova scritta.

Su che argomenti saranno le due prove in itinere?

Sarà segnalato con precisione qui, a suo tempo. Un'idea di massima è data dalle prove in itinere dell'anno scorso, scaricabili da questa pagina.

Com'è l'orale? In cosa consiste? Cosa devo sapere?
L'orale, o meglio la prova teorica, consiste in domande su definizioni, esempi, enunciati e dimostrazioni di teoremi. Sul programma dettagliato sono indicate esattamente quali dimostrazioni sono richieste, e sono dati riferimenti bibliografici precisi. Tutto ciò che è richiesto all'esame si trova sul libro di testo o, eventualmente, su qualche pagina integrativa che viene messa in rete in questa pagina web. (In tal caso, questo fatto è indicato esplicitamente nel programma dettagliato). Si noti che il programma dettagliato messo in rete all'inizio del corso è provvisorio; viene aggiornato mano a mano e reso definitivo alla fine del corso. Perciò, scaricatene una versione aggiornata alla fine del corso.
La prova teorica si svolge così: lo studente risponde per iscritto a 3 domande, nel tempo di 45 minuti circa; quindi il docente legge questo elaborato alla presenza dello studente, se necessario chiede chiarimenti o lo commenta, e conclude l'esame dando il voto. La forma scritta non è, nella sostanza, molto diversa da un orale di tipo tradizionale: è richiesta chiarezza, precisione, linguaggio e simboli corretti, conoscenza delle definizioni, degli enunciati dei teoremi, delle relative dimostrazioni, capacità di portare esempi e contresempi in relazione alle ipotesi di un teorema o a una definizione.
All'orale si accede solo se lo scritto è sufficiente. Se si è bocciati all'orale, lo scritto rimane valido per gli altri appelli di quest'anno accademico.

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